目录定积分的概念定积分的性质微积分基本定理不定积分定积分的计算定积分的应用反常积分7
2 目录 7 反常积分
无穷区间上的反常积分ur由黎曼积分的定义，定积分只能对有界区间上的有界函数给出，反常积分的目的就是将定积分推广至无穷区间及无界函数。定义 设f(x)在[a,+ o)上有定义,且对b>a,f(x) ER[a,b],记 Jt° f(x)dx = lim。Ja f(x)dx,称为f(x)在[a,+o）上的反常积分。若极限,lim Ja f(x)dx 收敛，则称反常积分 Jt°f(x)dx 收敛;b-+α反之，称反常积分J+f(x)dx发散
3 无穷区间上的反常积分 由黎曼积分的定义，定积分只能对有界区间上的有界函数给出， 反常积分的目的就是将定积分推广至无穷区间及无界函数。 定义 设 � � 在 �, + ∞ 上有定义，且对 ∀ � > �，� � ∈ � �, � ， 记 � +∞ � � �� = lim �→+∞ � � � � ��， 称为 � � 在 �, + ∞ 上的反常积分。 若极限 lim �→+∞ � � � � �� 收敛，则称反常积分 � +∞ � � �� 收敛； 反之，称反常积分 � +∞ � � �� 发散
无穷区间上的反常积分8这一推广是有实际意义的，例如：求第二宇宙速度。mgR2,R+hR2rR+h= mgR2已有,Wh= JR"mgdr=RR+hrr=R若要脱离地球引力，亦即可将飞船发射至无穷远处，所需的功为,lim mgR2(-_=mgR,RR+h)h→+8R2若用反常积分表示，则有,lim。Wh=Jmg会dr=mgR,h→+0飞船所具有的动能需要克服引力做功，即mv2=mgR,所以第二宇宙速度V=/2gR。取g =9.8m/s2，R= 6371km,则有v=11.2km/s
4 无穷区间上的反常积分 这一推广是有实际意义的，例如：求第二宇宙速度。 已有，�� = � �+� 𝒎 � � � � �� = − 𝒎� � � �=� �+� = 𝒎� � � � − � �+� 。 若要脱离地球引力，亦即可将飞船发射至无穷远处， 所需的功为 lim ℎ→+∞ 𝒎� � � � − � �+� = 𝒎�， 若用反常积分表示，则有 lim ℎ→+∞ �� = � +∞ 𝒎 � � � � �� = 𝒎�， 飞船所具有的动能需要克服引力做功，即 � � �� � = 𝒎�， 所以第二宇宙速度 � = 𝒎�。 取 � = �. 𝟖/� � ，� = 𝟔��𝟖，则有 � = ��. �𝟖/�
无穷区间上的反常积分aur注反常积分J。f(x)dx的几何意义为求一无界区域的面积，该面积无法通过丈量直接得到，yy=f(x)可先求得区间[a,b]上，对应区域的面积，一of再通过极限得到无界区域的面积。Xba注反常积分J。f(x)dx的计算可应用推广的牛顿一菜布尼兹公式，由 Jt° f(x)dx = ,lim J f(x)dx =, lim. (F(b) - F(a)),b-→+o记为 J+° f(x)dx = F(x)lt° = F(+o0) - F(a)
5 无穷区间上的反常积分 注 反常积分 � +∞ � � �� 的几何意义为求一无界区域的面积， 可先求得区间 �, � 上，对应区域的面积， 该面积无法通过丈量直接得到， 再通过极限得到无界区域的面积。 注 反常积分 � +∞ � � �� 的计算可应用推广的牛顿—莱布尼兹公式， 由 � +∞ � � �� = lim �→+∞ � � � � �� = lim �→+∞ � � − � � ， 记为 � +∞ � � �� = � � � +∞ = � +∞ − � � 。 � � � � � � = � �
无穷区间上的反常积分命题反常积分°dx，当p1时收敛，当p≤1时发散。称此积分为积分
6 无穷区间上的反常积分 命题 反常积分 � +∞ � � � ��，当 � > � 时收敛，当 � ≤ � 时发散。 称此积分为 � 积分