目录定积分的概念定积分的性质微积分基本定理不定积分定积分的计算定积分的应用反常积分
2 目录 4 不定积分
不定积分定义m加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，微分运算也有其逆运算，即为积分运算。定义 设函数F(x),f(x) 满足F'(x) =f(x)，Vx E I,称f(x)是F(x)在I上的导函数，而称F()是f(x)在I上的一个原函数。若已知f(x)，反向去求F(x)，即为积分运算（不定积分）
3 不定积分定义 加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法， 定义 设函数 � � , � � 满足 � ′ � = � � ，∀� ∈ �， 微分运算也有其逆运算，即为积分运算。 而称 � � 是 � � 在 � 上的一个原函数。 若已知 � � ，反向去求 � � ，即为积分运算（不定积分）。 称 � � 是 � � 在 � 上的导函数
不定积分定义定义设函数f(x)在区间上存在原函数，称f(x)在I上原函数的全体为f(x)在I上的不定积分，记为f(x)dx,称为不定积分号，f为被积函数，x为积分变量。若F'(αx) = G'(x) =f(x)，则 F(x)-G(αx) = C,C为常数。定理设F(x)是函数f(α)在区间I上的一个原函数，则Jf(x)dx =F(x)+C，其中 C 为任意常数，称不定积分常数
4 不定积分定义 定理 设 � � 是函数 � � 在区间 � 上的一个原函数， 记为 � � ��， 若 � ′ � = � ′ � = � � ，则 � � − � � = �，� 为常数。 定义 设函数 � � 在区间 � 上存在原函数， 称 � � 在 � 上原函数的全体为 � � 在 � 上的不定积分， 则 � � �� = � � + �，其中 � 为任意常数，称不定积分常数。 称 为不定积分号，� 为被积函数，� 为积分变量
不定积分定义例利用导数验证下列不定积分：11rJ xndx =++n+1 + C;dx = ln(x + Vx2 + 1) + C;x2+1Je*dx = ex + C;1e*(sinx - cosx) + C;fe"sinxdx =2J sinxdx =- cosx + C;2x1x+i + C.(μ2 +1)(ax+1)2 dx = arctanx + :J sec2xdx = tanx + C;
5 不定积分定义 𝐬���� =− 𝐜�� + �； � ��� = � � + �； 例 利用导数验证下列不定积分： � ��� = � �+� � �+� + �； ��� ���� = 𝐭�� + �； �� � � +� �+� � �� = ���𝐭�� + � �+� + �。 � �𝐬���� = � � � � 𝐬�� − 𝐜�� + �； � � � +� �� = �� � + � � + � + �；
不定积分几何意义YI若F(x)是f(x)的一个原函数，则称F(x）的函数图像为f(x）的一条积分曲线。而了f(x)dx的图像为一族曲线，F(x)+C称为f（x）的积分曲线族。xXo?函数f(x）的任意一条积分曲线都可通过其它积分曲线平移得到，而fx）的任意两条积分曲线在相同的x坐标处的切线相互平行
6 不定积分几何意义 若 � � 是 � � 的一个原函数， 则称 � � 的函数图像为 � � 的一条积分曲线。 而 � � �� 的图像为一族曲线， 称为 � � 的积分曲线族。 函数 � � 的任意一条积分曲线都可通过其它积分曲线平移得到， 而 � � 的任意两条积分曲线在相同的 � 坐标处的切线相互平行