目录定积分的概念定积分的性质微积分基本定理不定积分定积分的计算定积分的应用反常积分
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定积分问题背景问题如何求不规则图形的面积？可将该问题简化为求曲边梯形的面积：设y =f(x) E C[a,bl, 且f(x) ≥ 0,则y=f(x)，=O,x=a,x=b围成一曲边梯形，求梯形面积A
3 定积分问题背景 问题 如何求不规则图形的面积？ 可将该问题简化为求曲边梯形的面积： 设 � = � � ∈ � �, � ，且 � � ≥ �， 则 � = � � , � = �, � = �, � = � 围成一曲边梯形，求梯形面积 �
定积分问题背景8(1)分划对区间[a,b] 做分划,设分划P:a=xo<x1<….<xn=b，分点任意,则原曲边梯形分割为n个小曲边梯形，△x=xi一xi-1为相应宽度。(2)作近似和任取; E[xi-1,xil，以[xi-1,x;]为底，f()为高,用此矩形的面积fi)△xi来近似第i个曲边梯形的面积△Ai：y=f(x)则 A = Z=1AA; ~ Zr=1f()Axi。(3)取极限记入=max (△xi，并令 α→ 0,1≤i≤n则有面积 A=limZi=1f(si)Axi（若极限存在）。bxaXi-1E1XI
4 定积分问题背景 (1) 分划 对区间 �, � 做分划， 设分划 �: � = �� < �� < ⋯ < �� = �，分点任意， 则原曲边梯形分割为 � 个小曲边梯形，��� = �� − ��−� 为相应宽度。 (2) 作近似和 任取 �� ∈ ��−�, �� ，以 ��−�, �� 为底，� �� 为高， 用此矩形的面积 � �� ��� 来近似第 � 个曲边梯形的面积 ���， 则 � = �=� � ��� ≈ �=� � � �� ���。 (3) 取极限 记 � = max �≤�≤� ��� ，并令 � → �， 则有面积 � = lim �→� �=� � � �� ���（若极限存在）
定积分定义y将上述过程抽象为一个计算过程，即为定积分。y=f(x)定义设函数f在区间[a,b]上有界,对[a,b] 作任意分划，任取点E[xi-1,xi],并作黎曼和=f()Axi，△xi=xi-xi-1,0bx0Xi-1EIXiα=mx(Axi，若当→0 时，极限I=limZr=f(3i)Ax; 存在,2-01≤i≤n则称函数f 在[a,b] 上是黎曼可积的，记为f(x) E R[a,b],并称极限 I 为f 在[a,b] 上的定积分，记为 I = J。f(x)dx。称[a,bl为积分区间，a,b为积分下限和上限，称f为被积函数，x为积分变量
5 定积分定义 将上述过程抽象为一个计算过程，即为定积分。 定义 设函数 � 在区间 �, � 上有界， 对 �, � 作任意分划，任取点 � ∈ ��−�, �� ， 并作黎曼和 �=� � � �� ���，��� = �� − ��−�， � = max �≤�≤� ��� ，若当 � → � 时，极限 � = lim �→� �=� � � �� ��� 存在， 则称函数 � 在 �, � 上是黎曼可积的，记为 � � ∈ � �, � ， 并称极限 � 为 � 在 �, � 上的定积分，记为 � = � � � � ��。 称 �, � 为积分区间，�, � 为积分下限和上限， 称 � 为被积函数，� 为积分变量
定积分的几何意义Tu定积分的几何意义：当f(x)为非负连续函数时，定积分J f(x)dx 即为曲线 f(x)下方的曲边梯形的面积。当f(x)≤0时,定积分-J f(x)dx 即为曲线f(x) 上方的曲边梯形的面积,若规定x轴下方的面积代数值为负，则Jf(x)dx表示相应的代数面积。所以对一般的连续函数f(x)，定积分 Jf(x)dx 即为曲线 f(x) 与 x =a, b 所围区域的代数面积之和。6
6 定积分的几何意义 定积分的几何意义： 当 � � 为非负连续函数时， 定积分 � � � � �� 即为曲线 � � 下方的曲边梯形的面积。 当 � � ≤ � 时， 定积分 − � � � � �� 即为曲线 � � 上方的曲边梯形的面积， 若规定 � 轴下方的面积代数值为负，则 � � � � �� 表示相应的代数面积。 所以对一般的连续函数 � � ， 定积分 � � � � �� 即为曲线 � � 与 � = �, � 所围区域的代数面积之和