第四章 向量组的线性相关性
第四章 向量组的线性相关性
§1向量组及其线性组合
§1 向量组及其线性组合
定义:n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向 量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数a1称为第i 个分量 口分量全为实数的向量称为实向量 口分量全为复数的向量称为复向量 备注: √本书一般只讨论实向量(特别说明的除外) √行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 √所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作 列向量 √本书中,列向量用黑色小写字母a,b,a,B等表示,行向量 则用a,b,ax,表示
定义：n 个有次序的数 a1 , a2 , …, an 所组成的数组称为n 维向 量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量． 分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量． 备注： ✓ 本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ． ✓ 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量． ✓ 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作 列向量． ✓ 本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量 则用 a T , b T , aT , b T 表示．
定义:若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为 向量组 √当R(4)<n时,齐次线性方程组Ax=0的全体解组成的向 量组含有无穷多个向量 有限向量组 12 13 14 21 L 22 23 24 1 9c293904 )=B 33a2 B 结论:含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应
定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组． ✓ 当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向 量组含有无穷多个向量． 11 12 13 14 34 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a A a a a a a a a a = = (a a a a 1 2 3 4 ,,, ) 1 2 3 T T T b b b = 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应． 有限向量组
定义:给定向量组A:a1a2,…,am,对任何一组实数 k1,k2,…,km,表达式 k1a1+k2a2+…+knm 称为向量组A的一个线性组合 k1,k2,,.kn称为这个线性组合的系数 定义:给定向量组A:a1,a2…,am和向量b,如果存在一组 实数41,A2,…,m,使得 n 则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组 A的线性表示
定义：给定向量组 A：a1 , a2 , …, am ， 对于任何一组实数 k1 , k2 , …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1 , k2 , …, km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量组 A：a1 , a2 , …, am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1 , l2 , …, l m ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + l mam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．