§3逆矩阵
§3 逆矩阵
矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢? 这就是本节所要讨论的问题 这一节所讨论的矩阵,如不特别说明,所指的都是n阶方阵 对于n阶单位矩阵E以及同阶的方阵A,都有 从乘法的角度来看,n阶单位矩阵E在同阶方阵中的地 位类似于1在复数中的地位.一个复数a≠0的倒数a可以 用等式aa1=1来刻划.类似地,我们引入
•矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. •矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ •这就是本节所要讨论的问题. •这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地 位类似于 1 在复数中的地位． 一个复数 a ≠ 0的倒数 a－1可以 用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入 对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有 A E E A A n n n n n = =
定义:n阶方阵A称为可逆的,如果有n阶方阵B,使得 AB= BA= E 这里E是n阶单位矩阵 >根据矩阵的乘法法则,只有方阵才能满足上述等式 >对于任意的n阶方阵A,适合上述等式的矩阵B是唯 一的(如果有的话) 定义:如果矩阵B满足上述等式,那么B就称为A的逆矩阵, 记作A
定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得 这里 E 是 n 阶单位矩阵. AB BA E = = ➢根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. ➢对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）. 定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1
下面要解决的问题是: 在什么条件下,方阵A是可逆的? 如果A可逆,怎样求A1?
下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
结论:A4=AA=AE,其中 2 In 21 22 2 12 22 n2 n 2 m1 In nn 定理:着A≠0,则方阵可逆,而且元素a的代数 余子式4位于 第/行第i列 推论:若|A|≠0,则|A= A
11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A = 结论： ，其中 * * AA A A A E = =| | 定理：若 | | 0 A ，则方阵A可逆，而且 1 * 1 . | | A A A − = 推论：若| | 0 A ，则 . 1 1 | | | | A A − = 元素 的代数 余子式 位于 第 j 行第 i 列 ij a Aij