§5行列式的性质
§5 行列式的性质
行列式的性质 12 记D 22 D n2 n2 In n nn 行列式D称为行列式的转置行列式 若记D=detn,D,则et(b)b=n 性质1行列式与它的转置行列式相等即D=D7
一、行列式的性质 11 12 1 2 21 2 2 1 2 , n n n n nn a a a a a a a a D a = 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 若记 det( ), det( ) ，则 . T D a D b ij ij = = ij ji b a = 记 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 . T D D= 21 22 11 1 2 1 2 12 n n n n T n n a a a a a a D a a a =
性质1行列式与它的转置行列式相等 证明若记D=de(n,D,则et(b2) 根据行列式的定义,有 D=∑(-1)Mmbn lp……Pn ∑ t(P1P2"Pn)a an 2 Pnh P1P2…P 行列式中行与列具有同等的地位行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立
1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n T t p p p p p np p p p D b b b = − 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 根据行列式的定义，有 若记 D a D b = = det( ), det( ) ij ij T ，则 ( , 1,2, , ) ij ij b a i j n = = 1 1 2 1 2 2 1 ( ) 2 ( 1) n n n p p t p p p p p p p n = − a a a = D 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立
性质2互换行列式的两行(列)行列式变号 备注:交换第行(列)和第行(列),记作r分r1(c2C1) 验证 662=-196 358=196 358 175 175 于是662|=-358 358662 推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零 证明互换相同的两行,有D=以D=0
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 验证 于是 1 7 5 6 6 2 3 5 8 1 7 5 3 5 8 6 6 2 = −196 = 196 1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 3 5 8 6 6 2 = − 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有D D = − ，所以 D. = 0 备注：交换第 行（列）和第 j 行（列），记作 . i ( ) i j i j r r c c
性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个 倍数k,等于用数乘以此行列式 备注:第行(列)乘以k记作r1Xk(e;xk) 验证我们以三阶行列式为例.记 12 13 12 13 D D,=k 23 21 23 31 32 33 根据三阶行列式的对角线法则,有
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个 倍数 ，等于用数 乘以此行列式. 验证 k k 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , a a a D a a a a a a = 我们以三阶行列式为例. 记 根据三阶行列式的对角线法则，有 11 12 13 1 21 22 23 31 32 33 k k a a a D a a a a a a = k 备注：第 行（列）乘以 k ，记作 . i ( ) i i r k c k