§5二次型及其标准形
§5 二次型及其标准形
例2阶方阵 投影变换 对应x1 P(x,y) 0. P1(x1,y1) 例2阶方阵 对应 cosp -sIn p x=xcosp-yisin p, Sing cos p y=x sin p+ V, cos p. P(x,y) 以原点为中心逆时针 旋转q角的旋转变换 P(xi, yu) b
1 0 0 0 对应 1 1 , 0. x x y = = y 0 x P x y ( , ) 111 P x y ( , ) 投影变换 例 2阶方阵 cos sin sin cos − 对应 1 1 1 1 cos sin , sin cos . x x y y x y = − = + 以原点为中心逆时针 旋转 角的旋转变换 例 2阶方阵 P x y ( , )111 P x y ( , ) y 0 x
解析几何中,二次曲线的一般形式 ax2+ bxy +cy2=0 通过选择适当的的旋转变换 x=x cosp-y sin p, y=xsmnφ+yc0s9. 使得mx2+my2=0 定义:含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数 f(x1,x23…,Xn)=a1x1 十ax+…+ax nn n +2aux x,+2ai3x x3+.+2an-I,, tm- m 称为二次型
◼ 解析几何中，二次曲线的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换 使得 mx' 2 + ny' 2 = 0 ． 定义：含有 n 个变量 x1 , x2 , …, xn 的二次齐次函数 称为二次型． cos sin , sin cos . x x y y x y = − = + 2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 n nn n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x − − = + + + + + + +
令a=,则2anxx=xx+anxx,于是 f(x1,x2,…,xn)=|1x2+a2x2+…+an un- +2a2x1x2+2a13x1x3+…+2a
2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 , 1 2 2 2 ( , , , ) n nn n n n n n n n n n n n n n nn n n ij i j i j f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x − − = = + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = 令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是
, 12X )=x1(a1x1+a12x2+…+a1nxn) +x2(a21x1+a2x2+…+a2nxn) fx x1+a.x++.x n n1 +ax 122 …a, 21X1+2x+十,nX , 19299n 对称阵 n1x1+an2x2+…+amCn 12 22 n , 1~255叫n =x Ax
2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + 1 11 1 12 2 1 ( ) n n x a x a x a x + + + 2 21 1 22 2 2 ( ) n n + + + + x a x a x a x 1 1 2 2 ( ) n n n nn n + + + + x a x a x a x 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x + + + + + + = + + + 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x = T = x Ax 对称阵