53向量组的秩
§3 向量组的秩
矩阵 系数矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 增广矩阵 线性 有限 方程组 向量组 Ax=b有解 当且仅当 向量b可由矩阵A的列向量组线性表示 课本P88定理4: 向量组A:a1,a2,…,an线性相关的充要条件是矩阵A=(a1,a2 n 的秩小于向量的个数m; ·向量组A:a1,a2,,amn线性无关的充要条件是矩阵A=(a1,a2 ··5n 的秩等于向量的个数m
矩阵 线性 方程组 有限 向量组 系数矩阵 增广矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 可由矩阵 A的列向量组线性表示 课本P. 88定理4： • 向量组 A：a1 , a2 , …, am 线性相关的充要条件是矩阵A = (a1 , a2 , …, am ) 的秩小于向量的个数m ； • 向量组 A：a1 , a2 , …, am 线性无关的充要条件是矩阵A = (a1 , a2 , …, am ) 的秩等于向量的个数m ．
n元线性方程组 向量组A:a1,a2,…,an Ax=b 矩阵(A,b 其中A是nxm矩阵 及向量b 是否存在解? R4)=R(4,b成立?向量b能否由向量组A 线性表示? 无解 R(4)<R(A,b) NO 有解 R(4)=R(,b) YES x的分量是线性组合的系数 唯一解 R(4)=R(,b) =未知数个数 表达式唯一 无穷解 R(4)=R(4,b) <未知数个数 表达式不唯
n元线性方程组 Ax = b 其中 A 是 n×m 矩阵 矩阵 (A, b) 向量组 A: a1 , a2 , …,an 及向量 b 是否存在解？ R(A) = R(A, b) 成立？ 向量 b 能否由向量组 A 线性表示？ 无解 R(A) < R(A, b) NO 有解 R(A) = R(A, b) YES x 的分量是线性组合的系数 唯一解 R(A) = R(A, b) = 未知数个数 表达式唯一 无穷解 R(A) = R(A, b) < 未知数个数 表达式不唯一
回顾:矩阵的秩 定义:在mXn矩阵A中,任取k行k列(k≤m,km), 位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处 的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式 规定:零矩阵的秩等于零 定义:设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有 r+1阶子式(如果存在的话)全等于零,那么D称为矩阵 A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(4) 结论:矩阵的秩 矩阵中最高阶非零子式的阶数 =矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数
回顾：矩阵的秩 定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k 2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 规定：零矩阵的秩等于零． 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 结论： 矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数
向量组的秩的概念 定义:设有向量组A,如果在A中能选出r个向量a1,a2…, a,满足 ①向量组A0:a1,a2,,a,线性无关; ②向量组A中任意r+1个向量(如果A中有+1个向量的 话)都线性相关 那么称向量组A是向量组A的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组 最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩,记作R4
向量组的秩的概念 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1 , a2 , …, ar，满足 ① 向量组 A0 ：a1 , a2 , …, ar 线性无关； ② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的 话）都线性相关； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组， 简称最大无关组． 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA ．