§2矩阵的秩
§2 矩阵的秩
矩阵的秩的概念 定义:在mXn矩阵A中,任取k行k列(k≤m,km), 位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处 的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式 显然,mxn矩阵A的k阶子式共有CC个 概念辨析:k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
一、矩阵的秩的概念 定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k 2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C Cm n k k 个． 概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
12 13 11 12 13 14 21 22 23 24 33 与元素a12相对应的余子式 矩阵A的一个2阶子式 21 12 13 12 相应的代数余子式 矩阵A的一个2阶子块 12=(-1)2M12= 12 3 33
与元素a12相对应的余子式 21 23 12 31 33 a a M a a = 相应的代数余子式 矩阵 A 的一个 2 阶子块 12 13 22 23 a a a a 矩阵 A 的一个 2 阶子式 12 13 22 23 a a a a 1 2 21 23 12 12 31 33 ( 1) a a A M a a + = − = − 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a a a a a a a a a
定义:设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有 r+1阶子式(如果存在的话)全等于零,那么D称为矩阵 A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A 规定:零矩阵的秩等于零
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 规定：零矩阵的秩等于零．
11 12 13 14 A na32a334丿矩阵A的2阶子式 矩阵A的一个3阶子式 12 13 22 22 a 23 12 1 2 31 33 31 32 如果矩阵A中所有2阶子式都等于零,那么这个3阶子式也 等于零
22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a = − + 矩阵 A 的一个 3 阶子式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也 等于零 ． 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a A a a a a a a a a =