§2向量组的线性相关性
§2 向量组的线性相关性
回顾:向量组的线性组合 定义:给定向量组A:a,a2,…,am,对于任何一组实数k1, k2,…,kn,表达式 a1+k2a2+…+kn 称为向量组A的一个线性组合 k1,k2,…,.kn称为这个线性组合的系数 定义:给定向量组A:a1,a2…,am和向量b,如果存在一组 实数41,A2,…,礼m,使得 b=孔1a1+A22+…+ 则称向量b能由向量组A的线性表示
回顾：向量组的线性组合 定义：给定向量组 A：a1 , a2 , …, am ， 对于任何一组实数 k1 , k2 , …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1 , k2 , …, km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量组 A：a1 , a2 , …, am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1 , l2 , …, l m ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + l mam 则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．
引言 问题1:给定向量组A,零向量是否可以由向量组A线性表 问题2:如果零向量可以由向量组A线性表示,线性组合的 系数是否不全为零?
引言 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？ 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？
P83定理1的结论: 向量b能由 线性方程组 向量组A Ax= b R(A=R(A,b) 线性表示 有解 向题1:给定向量组A,零向量是否可以由向量组A线性表示? 问题1:齐次线性方程组Ax=0是否存在解? 回答:齐次线性方程组Ax=0一定存在解 事实上,可令k1=k2 kn=0,则 k1a1+k2a2+….+knm=0(零向量)
R A R A b ( ) ( , ) = 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 P.83 定理1 的结论： 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？ 问题1′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答：齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解． 事实上，可令k1 = k2 = … = km =0 ，则 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）
问题2:如果零向量可以由向量组A线性表示,线性组合的系数 是否不全为零? 问题2:齐次线性方程组Ax=0是否存在非零解? 回答:齐次线性方程组不一定有非零解,从而线性组合的系数 不一定全等于零 00 例:设E=(e1,e2,e3) 100 若k1+k1e2+k23=k100((k3)(0 +k30|=k2=0 则k1=k2=k3=0
问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？ 问题2′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零． 例：设 ( 1 2 3 ) 1 0 0 , , 0 1 0 0 0 1 E e e e = = 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 k k e k e k e k k k k k + + = + + = = 若 则 k1 = k2 = k3 =0 ．