同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第五章 相似矩阵及二次型（5.1）向量的内积、长度及正交性

第五章 相似矩阵及二次型

第五章 相似矩阵及二次型

§1向量的内积、长度及正交性

§1 向量的内积、长度及正交性

向量的内积 定义:设有n维向量x x1y1+x2.y2+…+xnyn 52 r y 则称[x,y为向量x和y的内积

定义：设有 n 维向量 令 则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积． 1 1 2 2 [ , ] n n x y = + + + x y x y x y 向量的内积 1 1 2 2 , , n n x y x y x y x y             = =             ( ) 1 2 1 2 , , , n n y y x x x y       =       T = x y

x,y]=x1y1+x2y2+.+rnyn=x y 内积具有下列性质〔其中x,y,z为n维向量,4为实数) 对称性:[x,y=,x x,y]=x,y,+x2y2+.+xmy

1 1 2 2 1 1 2 2 [ , ] [ , ] n n n n x y x y x y x y y x y x y x y x = + + + = + + + = [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： ⚫ 对称性： [x, y] = [y, x]．

x,y]=x1y1+x2y2+.+rnyn=x y 内积具有下列性质〔其中x,y,z为n维向量,4为实数) ●对称性:[x,y=b,x 线性性质:[λx,y=px,y x+y,d=[x,+Uy,不 x, yl lx+y, z

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： ⚫ 对称性： [x, y] = [y, x]． ⚫ 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] [ , ] ( ) ( ) [ , ] T T T l l l l l x y x y x y x y x y =  =  = = [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] [ , ] T T T T T x y z x y z x y z x z y z x z y z + = +  = +  = + = +