54线性方程组的解的结构
§4 线性方程组的解的结构
回顾:线性方程组的解的判定 包含n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的秩R(4)<n 2.包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩R(4)=R(4,b),并且 口当R(4)=R(4,b)=n时,方程组有唯一解 口当R(4)=R(4,b)<n时,方程组有无限多个解
回顾：线性方程组的解的判定 1. 包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n ． 2. 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且 当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解； 当R(A) = R(A, b) < n时，方程组有无限多个解．
引言 问题:什么是线性方程组的解的结构? 答:所谓线性方程组的解的结构,就是当线性方程组有无限 多个解时,解与解之间的相互关系 备注: ●当方程组存在唯一解时,无须讨论解的结构 ●下面的讨论都是假设线性方程组有解
引言 问题：什么是线性方程组的解的结构？ 答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系． 备注： ⚫ 当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构． ⚫ 下面的讨论都是假设线性方程组有解．
解向量的定义 定义:设有齐次线性方程组Ax=0,如果 112 21 n 为该方程组的解,则 521 称为方程组的解向量
解向量的定义 定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果 x1 = x11，x2 = x21，...， xn = xn1 为该方程组的解，则 称为方程组的解向量． 11 21 n1 x x x x =
齐次线性方程组的解的性质 性质1:若x=51,x=4是齐次线性方程组Ax=0的解 则x=1+4还是Ax=0的解 证明:A(41+2)=A1+A2=0+0=0 性质2:若x=是齐次线性方程组Ax=0的解,k为实数 则x=k还是Ax=0的解 证明:A(k5)=k(A5)=k0=0 结论:若x=5,x=2,…,x=4是齐次线性方程组Ax=0 的解,则x=k151+k22+…,+k还是Ax=0的解
齐次线性方程组的解的性质 性质1：若 x = x1，x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 ． 性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解． 证明： A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 ． 结论：若 x = x1 , x = x2 , ...,, x = xt是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt还是 Ax = 0 的解