2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内 (1)设函数f(x)=m02+0m,则f(x)的零点个数() (B)1 (C)2 分析:f(x)=ln(2+x2)2x=2xn(2+x2) f"(x)=2ln(2+x2)+ 24x220,恒大于,所以(x)在(-∞,+∞)上是单调递增的 又因为0)=0,根据其单调性可知f(x)只有一个零点 (2)函数f(x,y)= arctan=在点(01)处的梯度等于() (4) 解:(4) 分析:由f=-= f(01)=;=1 f(0.l)=0 所以 gradf(0,1)=1×i+0×j=i (3)在下列微分方程中,以y=C1e2+C2C0s2x+C3Sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为 通解的是() (4)y+y2-4y-4y=0 (B)y"+y”+4y+4y=0 4y+4y=0 +4y-4y=0 第1页共13页

第 1 页 共 13 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 2 0 ( ) ln(2 ) x f x t dt = +  ，则 f x ( ) 的零点个数（ ） ( A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解： (B). 分析： 2 2 f x x x x x ( ) ln(2 ) 2 2 ln(2 ) = +  = + 2 2 2 4 ( ) 2ln(2 ) 0 2 x f x x x  = + +  + ，恒大于 0，所以 f x ( ) 在 ( , ) − + 上是单调递增的. 又因为 f (0) 0 = ，根据其单调性可知 f x ( ) 只有一个零点. （2）函数 ( , ) arctan x f x y y = 在点 (0,1) 处的梯度等于（ ） ( A) i (B) -i (C) j (D) − j 解； ( A). 分析：由 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 , (0,1) 1. 1 1 x x y y y f f x x y x y y y = = = = = + + + 2 2 2 2 2 , (0,1) 0. 1 y y x y x f f x x y y − − = = = + + 所以 gradf i j i (0,1) 1 0 . =  +  = （3）在下列微分方程中，以 1 2 3 cos 2 sin 2 x y C e C x C x = + + （ 1 2 3 C C C , , 为任意常数）为 通解的是（ ） ( A) y y y y    + − − = 4 4 0 . (B) y y y y    + + + = 4 4 0 . (C) y y y y    − − + = 4 4 0 . (D) y y y y    − + − = 4 4 0 . 解： (D)

分析:由y=Ce+C2cos2x+C3sin2x可知其特征根为入=1,2;=±21 故对应的特征方程为(λ-1)(2+2i)(2-2)=(λ-1)(2+4) =A3+4-2-4 13-A2+4-4 所以所求微分方程为y-y+4y-4y=0,选(D) (4)设函数f(x)在(-O,+∞)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是() (4)若{xn}收敛,则{(x,)收敛 (B)若(x}单调,则{f(x)收敛 (C)若((x》收敛,则()收敛 D)若{(x)单调,则{x}收敛 解:(B) 分析若(x)单调,则由f(x)在(+)内单调有界知,(x)单调有界, 因此{()收皱应选(B) (5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=0,则() (4)E-A不可逆,B+A不可逆 (B)E-A不可逆,E+A可逆 (C)E-A可逆,E+A可逆 (D)EA可逆,E+A不可逆 解:选(C) 分析:(E-4+4+)=E-A=E,(E+AE-A+)=E+A=E 故E-A,E+A均可逆 (6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,)A4y=1在正交变换下的标准方 程的图形如图,则A的正特征值个数为() 0 (B)1.( C)2 (D)3 解:选(B) 分析:此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为x_y+二2 1,故A的正特 第2页共13页

第 2 页 共 13 页 分析；由 1 2 3 cos 2 sin 2 x y C e C x C x = + + 可知其特征根为 1 2,3   = =  1, 2i . 故对应的特征方程为 2 ( 1)( 2 )( 2 ) ( 1)( 4)      − + − = − + i i 3 2 3 2 4 4 4 4       = + − − = − + − 所以所求微分方程为 y y y y    − + − = 4 4 0 , 选 (D). （4）设函数 f x( ) 在 ( , ) − + 内单调有界， xn 为数列，下列命题正确的是（ ） ( A) 若 xn 收敛，则  f x( ) n  收敛. (B) 若 xn 单调，则  f x( ) n  收敛. (C) 若  f x( ) n  收敛，则 xn 收敛. (D) 若  f x( ) n  单调，则 xn 收敛. 解： (B) 分析：若 xn 单调，则由 f x( ) 在 ( , ) − + 内单调有界知，  f x( ) n  单调有界， 因此  f x( ) n  收敛,应选 (B). （5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 3 A = 0 ，则（ ） ( A) E A − 不可逆， E A + 不可逆. (B) E A − 不可逆， E A + 可逆. (C) E A − 可逆， E A + 可逆. (D) E A − 可逆， E A + 不可逆. 解：选 (C) 分析： 2 3 ( )( ) E A E A A E A E − + + = − = ， 2 3 ( )( ) E A E A A E A E + − + = + = 故 E A E A − + , 均可逆。 （6）设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 ( , , ) 1 x x y z A y z     =       在正交变换下的标准方 程的图形如图，则 A 的正特征值个数为（ ） ( A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 解：选 (B) 分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 2 2 2 2 2 1 x y z a c + − = ，故 A 的正特

征值个数为1。 (7)设随机变量x,Y独立同分布且X分布函数为F(x),则Z=max{X,}分布函数为 (B)F(rF() (C)1-[1-F(x)] (D)[-F(x)-F(y)] 解:选(4) 分析 F()=P(s)=P{m{ks=P(x)P(s)=F()F(=)=F(=) (8)设随机变量XN01),YN(14)且相关系数py=1,则 (A)P(=-2X-1=1 (B)P{Y=2X-1}=1 CP{=-2X+l}=1 (D)P{=2X+1 分析:用排 设Y=aX+b,由px=1,知道X,y正相关,得a>0,排除(4)、(C) 由X~N(0,1)Y~N(14),得 EY=0,EY 1,E(Y)=E(aX+b)=aEX+b 1=a×0+b,b=1 排除(B 故选择(D) 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (9)微分方程xy+y=0满足条件y()=1的解是y 解 分析:由 中=2,少=-时所以=,又y)=1,所以 (10)曲线sin(xy)+hn(y-x)=x在点(0.)处的切线方程为 第3页共13页

第 3 页 共 13 页 征值个数为 1。 （7）设随机变量 X Y, 独立同分布且 X 分布函数为 F x( ) ，则 Z X Y = max ,   分布函数为 （ ） ( A) ( ) 2 F x . (B) F x F y ( ) ( ) . (C) ( ) 2 1 1 − −   F x   . (D)     1 1 − − F x F y ( ) ( )     . 解：选 ( A) 分析； F Z P Z z P X Y z ( ) =  =  ( ) max ,    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 =   = = P X z P Y z F z F z F z （8）设随机变量 X N(0,1) ，Y N(1,4) 且相关系数 1  XY = ，则（ ） ( A) P Y X  = − − = 2 1 1  . (B) P Y X  = − = 2 1 1  . (C) P Y X  = − + = 2 1 1  . (D) P Y X  = + = 2 1 1  . 解：选 (D) 分析：用排除法 设 Y aX b = + ，由 1  XY = ，知道 X Y, 正相关，得 a  0 ，排除 ( A) 、(C) 由 X N Y N ~ (0,1), ~ (1,4) ，得 EX EY E Y E aX b aEX b = = = + = + 0, 1, ( ) ( ) 1 0 , 1 =  + = a b b 排除 (B) 故选择 (D) 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程 xy y  + = 0 满足条件 y (1 1 ) = 的解是 y = . 解： 1 y x = 分析；由 , , ln ln dy y dy dx y x dx x y x − = = − = − 所以 1 x y = ，又 y(1) 1 = ，所以 1 y x = . （10）曲线 sin ln ( xy y x x ) + − = ( ) 在点 (0,1) 处的切线方程为

分析:设F(x,y)=sm(y)+m(y-x)-x,斜率h=-21cO9(xy)+~~1 x cos(xy)+ 在(0,1)处,k=1,所以切线方程为y-1=x,即y=x+1 (1)已知幂级数∑an(x+2)在x=0处收敛,在x=4处发散,则幂级数∑an(x-3) 的收敛域为 解:(1,5] 分析:由题意知∑4(x+2)的收敛域为(-40],则∑ax的收敛域为(-22] 以4(x-3)的收敛域为(15 (12)设曲面∑是=√4-x2-y2的上侧,则|d+xdax+ x dxdy= 解:4 分析:小止+x+x山=小习+x+∫x ydxdyd:+lx'dxdy=0+x+y2dxdy Jo dejr'rdr=4T (13)设A为2阶矩阵,a1,a2为线性无关的2维列向量,Aa1=0,Aa2=2a1+a2,则A 的非零特征值为 分析:A(ax1,a2)=(ax,Aa2)=(0,2a1+a2)=(ax2a 记P=(a1,a2)P可逆,故PAP= =B 第4页共13页

第 4 页 共 13 页 解： y x = +1. 分析：设 F x y xy y x x ( , ) sin( ) ln( ) = + − − ，斜率 1 cos( ) 1 1 cos( ) x y y xy F y x k F x xy y x − + − − = − = + − ， 在 (0,1) 处， k =1，所以切线方程为 y x − =1 ，即 y x = +1 （11）已知幂级数 ( ) 0 2 n n n a x  =  + 在 x = 0 处收敛，在 x =−4 处发散，则幂级数 ( ) 0 3 n n n a x  =  − 的收敛域为 . 解： (1,5]. 分析：由题意知 0 ( 2)n n n a x  =  + 的收敛域为 ( 4,0] − ，则 0 n n n a x  =  的收敛域为 ( 2,2] − . 所以 0 ( 3)n n n a x  =  − 的收敛域为 (1,5]. （12）设曲面  是 2 2 z x y = − − 4 的上侧，则 2 xydydz xdzdx x dxdy  + + =  . 解： 4 分析； 2 2 2 D D xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy x dxdy  + + + = + + +    上 2 2 2 1 0 2 D D ydxdydz x dxdy x y dxdy  = + = + +    上 上 2 2 2 0 0 1 4 2 d r rdr  = =     （13）设 A 为 2 阶矩阵， 1 2  , 为线性无关的 2 维列向量， 1 2 1 2 A A     = = + 0, 2 ，则 A 的非零特征值为 . 解：1 分析： 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 ( , ) ( , ) (0,2 ) ( , ) 0 1 A A A           = = + =     记 1 2 P P = ( , ),   可逆，故 1 0 2 0 1 P AP B −   = =    

A与B有相同的特征值E-B= A(λ-1),A12=0.,1,故非零的特征值为1 (14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P{X=EX2 解:-e 分析:因为DX=E2-(EX)2,所以EX2=2,X服从参数为1的泊松分布, 所以P{X=2 三、解答题:15-23小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分) Sinx 求极限lim AF: lim(sin x-sin sin x)sinx lim sin x-sinsinx cos x-cos(sin x).cos lim cos x(I-cos(sin x) lim sin(sin x). x 3x2 lim sinx (16)(本题满分10分) 计曲线积分n2+2(x-1)y,其中是曲线sn从点(0O)到点 (z,0)的段 AF: sin 2xdx+2(x-1)ydy=L [sin 2x+2(x-1).sin xcos xx Jo sin 2xdr+ o sin 2x.x'dx-'sin2xdx 21221-52x2 [z2 cos 2-0]+[2xcos2xdx 2SIn 2 第5页共13页

第 5 页 共 13 页 A 与 B 有相同的特征值 2 ( 1) 0 1 E B      − − = = − − ， 1,2  = 0,1，故非零的特征值为 1。 （14）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则   2 P X EX = = . 解： 1 1 2 e − 分析；因为 2 2 DX EX EX = −( ) ，所以 2 EX = 2， X 服从参数为 1 的泊松分布， 所以   1 1 2 2 P X e− = = 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分 10 分） 求极限 ( ) 4 0 sin sin sin sin lim x x x x → x   −   解： 4 3 0 0 (sin sin sin )sin sin sin sin lim lim x x x x x x x → → x x − − = 2 0 cos cos(sin ) cos lim x 3 x x x → x −  = 2 0 0 cos (1 cos(sin )) sin(sin ) cos lim lim x x 3 6 x x x x → → x x −  = = 0 sin 1 lim x 6 6 x → x = = (16)（本题满分 10 分） 计算曲线积分 ( ) 2 sin 2 2 1 L xdx x ydy + −  ，其中 L 是曲线 y x = sin 上从点 (0,0) 到点 (,0) 的一段. 解： 2 2 0 sin 2 2( 1) [sin 2 2( 1) sin cos ] L xdx x ydy x x x x dx  + − = + −    2 0 0 0 sin 2 sin 2 sin 2 xdx x x dx xdx    = +  −    2 0 1 cos 2 2 x d x  = −   2 0 1 [ cos2 2 cos2 ] 2 0 x x x xdx   = − −  2 0 2 0 1 1 [ cos2 0] 2 cos2 2 2 1 1 2 sin 2 2 2 2 x xdx xd x      = − − + = − +   