53线性方程组的解
§3 线性方程组的解
线性方程组的表达式 1.一般形式 2.增广矩阵的形式 3x,+4x,-x,=5 34-15 x,+2 1-12 3.向量方程的形式 4.向量组线性组合的形式 34-1 )x6)+((2)1 方程组可简化为AX=b
一、线性方程组的表达式 1. 一般形式 3. 向量方程的形式 方程组可简化为 AX = b ． 2. 增广矩阵的形式 4. 向量组线性组合的形式 1 2 3 1 2 3 3 4 5 2 1 x x x x x x + − = − + = − 3 4 1 5 1 1 2 1 − − − 1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x − = − − 1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x − + + = − −
、线性方程组的解的判定 m、n不 设有n个未知数m个方程的线性方程组 定相等! 1X1+a1 a21x1+a2x2+…+a2nn=b2 +a t22 mn n 定义:线性方程组如果有解,就称它是相容的;如果无解, 就称它是不相容的 问题1:方程组是否有解? 问题2:若方程组有解,则解是否唯一? 问题3:若方程组有解且不唯一,则如何掌握解的全体?
二、线性方程组的解的判定 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解， 就称它是不相容的． 问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，则解是否唯一？ 问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？ m、n 不一 定相等！
定理:n元线性方程组Ax=b ①无解的充分必要条件是R(4)<R(A,b); ②有唯一解的充分必要条件是R(4)=R(A,b)=n; ③有无限多解的充分必要条件是R(4)=R(4,b)<n 分析:只需证明条件的充分性,即 R(4)<R(4,b)→无解; R(4)=R(4,b)=n→唯一解 R(A)=R(4,b)<n→无穷多解 那么 √无解→R(4)<R(A,b) √唯一解→R(4)=R(4,b)=n √无穷多解→R(4)=R(A,b)<n
定理：n 元线性方程组 Ax = b ① 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)； ② 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； ③ 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n ． 分析：只需证明条件的充分性，即 • R(A) < R(A, b) 无解； • R(A) = R(A, b) = n 唯一解； • R(A) = R(A, b) < n 无穷多解． 那么 ✓ 无解 R(A) < R(A, b) ； ✓ 唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； ✓ 无穷多解 R(A) = R(A, b) < n ．
证明:设R(4)=r,为叙述方便,不妨设B=(A,b)的行最 简形矩阵为 10 n-P 0 b 00∴1b B 00 00 00∴00 00R(4)≤R(A,b)≤R(4)+1 00 00 前r列后n-r列 第一步:往证R(4)<R(4,b)→无解 着R(4)<R(4,b),即R(4,b)=R(4)+1,则d1=1 于是第r+1行对应矛盾方程0=1,故原线性方程组无解
证明：设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的行最 简形矩阵为 第一步：往证 R(A) < R(A, b) 无解． 若 R(A) < R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)＋1，则 dr+1 = 1 ． 于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解． 11 1, 1 21 2, 2 ,1 , 1 ( 1) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n r n r r r n r r r m n b b d b b d b b d B d − − − + + = R(A) ≤ R(A, b) ≤ R(A)＋1 前 r 列 后 n - r 列