§5向量空间
§5 向量空间
封闭的概念 定义:所谓封闭,是指集合中任意两个元素作某一运算得到 的结果仍属于该集合 例:试讨论下列数集对四则运算是否封闭? 整数集Z 有理数集Q 实数集R
封闭的概念 定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到 的结果仍属于该集合． 例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？ ◼ 整数集 Z ◼ 有理数集 Q ◼ 实数集 R
向量空间的概念 定义:设V是n维向量的集合,如果 ①集合V非空, ②集合V对于向量的加法和乘数两种运算封闭, 具体地说,就是: √若a∈v,b∈V则a+b∈V.(对加法封闭) √若a∈v,∈R,则λa∈W.(对乘数封闭 那么就称集合V为向量空间
向量空间的概念 定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果 ① 集合 V 非空， ② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭， 具体地说，就是： ✓ 若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭） ✓ 若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭） 那么就称集合 V 为向量空间．
例:下列哪些向量组构成向量空间? 1.n维向量的全体Rn 2.集合V={(0,x2,…,xn)x2,…,xn∈R} 3.集合V2={(1,x2, 2 ∈R} 4.齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0} 5.非齐次线性方程组的解集S2={xAx=b} 解:集合Rn,Ⅵ1,S1是向量空间, 集合V2,S2不是向量空间 定义:齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间
例：下列哪些向量组构成向量空间？ 1. n 维向量的全体Rn 2. 集合 V1 = { (0, x2 , …, xn ) T | x2 , …, xn ∈R } 3. 集合 V2 = { (1, x2 , …, xn ) T | x2 , …, xn ∈R } 4. 齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 5. 非齐次线性方程组的解集 S2 = { x | Ax = b } 解：集合 Rn ，V1，S1 是向量空间， 集合 V2，S2 不是向量空间． 定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间
例:设a,b为两个已知的n维向量,集合 L={a+μb|,p∈R} 是一个向量空间吗? 解:设x1,x2∈L,k∈R,因为 x1+x2=(1a+p1b)+(2a+/2b (A1+a2)a+(1+p2)b∈L ·kx1=k(1a+p1b)=(ka1)a+(ky1)b∈L 所以,L是一个向量空间
例：设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合 L = {l a + m b | l, m ∈R } 是一个向量空间吗？ 解：设 x1 , x2 ∈L， k∈R，因为 ⚫ x1 + x2 = (l1a + m1b) + (l2a + m2b) = (l1 + l2 ) a + (m1 + m2 ) b∈ L ⚫ k x1 = k (l1a + m1b) = (kl1 ) a + (km1 ) b ∈ L 所以，L 是一个向量空间．