54对称矩阵的对角化
§4 对称矩阵的对角化
定理:设λ1,2,…,是方阵A的特征值,p1,p2,,pm依 次是与之对应的特征向量,如果41,42,,m各不相同,则 p1,p2…,pn线性无关.(P120定理2)
定理：设 l1 , l2 , …, l m 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1 , l2 , …, l m 各不相同，则 p1 , p2 , …, pm 线性无关． （P.120定理2）
可逆矩阵P,满足P4P=A(对角阵) 矩阵P的 AP=PA 列向量组 线性无关 中1=p(i=1,2,…,n) )y(4-41E)P=0 A的 对应的 特征值 (特征向量 其中 12 A(n1,P2…,Pn)=(n,P2…,Dn n
可逆矩阵 P ，满足 P −1AP = L （对角阵） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, …, n) A 的 特征值 对应的 特征向量 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n A p p p p p p l l l = 其中 ? (A−li E) pi = 0 矩阵 P 的 列向量组 线性无关
定理:设λ1,2,…,是方阵A的特征值,p1,p2,,pm依 次是与之对应的特征向量,如果41,42,,m各不相同,则 p1,p2…,pmn线性无关.(P20定理2) 定理:n阶矩阵A和对角阵相似(即A能对角化)的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量.(P123定理4) 推论:如果A有n个不同的特征值,则A和对角阵相似 说明:当A的特征方程有重根时,就不一定有n个线性无关 的特征向量,从而不一定能对角化.(P.118例6)
定理：设 l1 , l2 , …, l m 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1 , l2 , …, l m 各不相同，则 p1 , p2 , …, pm 线性无关．（P.120定理2） 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6）
定理:设λ1,2,…,是方阵A的特征值,p1,p2,,pm依 次是与之对应的特征向量,如果41,42,,m各不相同,则 P1,p2…,pmn线性无关.(P20定理2) 定理:设1和λ2是对称阵A的特征值,p1,p2是对应的特 征向量,如果41≠A2,则p,P2正交.(P.124定理6) 证明:Ap1=A11,Ap2=422,λ1≠2 (1-12)p 因为孔1≠42,则p1p2=0,E
定理：设 l1 , l2 , …, l m 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1 , l2 , …, l m 各不相同，则 p1 , p2 , …, pm 线性无关．（P.120定理2） 定理：设 l1 和 l2 是对称阵 A 的特征值， p1 , p2 是对应的特 征向量，如果 l1 ≠ l2 ，则 p1 , p2 正交．（P.124定理6） 证明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 ≠ l2 l1 p1 T = (l1 p1 ) T = (A p1 ) T = p1 T AT = p1 T A （A 是对称阵） l1 p1 T p2 = p1 T A p2 = p1 T (l2 p2 ) = l2 p1 T p2 (l1 − l2 ) p1 T p2 = 0 因为l1 ≠ l2 ，则 p1 T p2 = 0，即 p1 , p2 正交．