文登学校 2005年数学三试题分析、详解和评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)极限 lim xsin 【分析】本题属基本题型,直接用无穷小量的等价代换进行计算即可 【详解】 lim xsi 2x_ =lim x 【评注】若在某变化过程下,a(x)~a(x),则imf(x)(x)=imf(x)(x) 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P23【例128】 (2)微分方程xy+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为xy=2 【分析】直接积分即可 【详解】原方程可化为(xy)=0,积分得xy=C, 代入初始条件得C=2,故所求特解为xy=2 【评注】本题虽属基本题型,也可先变形 cy y 再积分求解 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P229【例105】 (3)设二元函数二=xe+(x+1)m(1+y),则d=2ex+(e+)hy 【分析】基本题型,直接套用相应的公式即可 【详解】=ey+xe+h(1+y) xex+⊥1x +1 于是d=2edkx+(e+2)dhy 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P166【例76】 (4)设行向量组(2,11,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,且a≠1,则 【分析】四个4维向量线性相关,必有其对应行列式为零,由此即可确定a 【详解】由题设,有
文登学校 1 2005 年数学三试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 1 2 lim sin 2 → x + x x x = 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 1 2 lim sin 2 → x + x x x = 2. 1 2 lim 2 = → x + x x x 【评注】 若在某变化过程下， (x) ~ (x) ，则 lim f (x)(x) = lim f (x) (x). 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.23【例 1.28】 （2） 微分方程 xy + y = 0 满足初始条件 y(1) = 2 的特解为 xy = 2 . 【分析】 直接积分即可. 【详解】 原方程可化为 (xy) = 0 ，积分得 xy = C ， 代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2. 【评注】 本题虽属基本题型， 也可先变形 x dx y dy = − ， 再积分求解. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.229【例 10.5】 （3）设二元函数 z xe (x 1)ln(1 y) x y = + + + + ，则 = (1,0) dz 2edx + (e + 2)dy . 【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】 e xe ln(1 y) x z x y x y = + + + + + , y x xe y z x y + + = + + 1 1 , 于是 = (1,0) dz 2edx + (e + 2)dy . 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.166【例 7.6】 （4）设行向量组 (2,1,1,1)， (2,1,a,a) ，(3,2,1, a) ，(4,3,2,1) 线性相关，且 a 1 ，则 a= 2 1 . 【分析】 四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a. 【详解】 由题设，有
文登学校 321a/(a-2a-1)=0,得a=1a=,但题设a≠1,故a= 【评注】当向量的个数小于维数时,一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P312【例33】 (5)从数1,2,34中任取一个数,记为X,再从1,2…,X中任取一个数,记为Y,则 P{Y=2}48 【分析】本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分 【详解】P{=2}=P{X=P{Y=2X=1}+P{X=2P(Y=2X=2} +P{X=3P{Y=2X=3}+P{X=4P{Y=2X=4} 4(0+11,1、13 【评注】全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率,这类题型一直都是 考查的重点 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P407【例131】 (6)设二维随机变量(XY)的概率分布为 0 0 已知随机事件{X=0}与{X+y=1}相互独立,则a=_04,b=-0 【分析】首先所有概率求和为1,可得a+b=05,其次,利用事件的独立性又可得一等 式,由此可确定ab的取值 【详解】由题设,知a+b=0.5 又事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,于是有 P{X=0,X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1}, 即a=(04+a)(a+b),由此可解得a=0.4,b=0.1 【评注】本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念,均为大纲要求 的基本内容 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P528【习题二,1.(9)】 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有
文登学校 2 = 4 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1 1 a a a (a −1)(2a −1) = 0 , 得 2 1 a = 1,a = ，但题设 a 1 ，故 . 2 1 a = 【评注】 当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.312【例 3.3】 （5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2, , X 中任取一个数，记为 Y, 则 P{Y = 2} = 48 13 . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 P{Y = 2}= P{X =1}P{Y = 2 X =1} + P{X = 2}P{Y = 2 X = 2} + P{X = 3}P{Y = 2 X = 3} + P{X = 4}P{Y = 2 X = 4} = . 48 13 ) 4 1 3 1 2 1 (0 4 1 + + + = 【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是 考查的重点. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.407【例 1.31】 （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 {X = 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立，则 a= 0.4 , b= 0.1 . 【分析】 首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等 式，由此可确定 a,b 的取值. 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件 {X = 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立，于是有 P{X = 0, X + Y = 1} = P{X = 0}P{X + Y = 1}， 即 a= (0.4 + a)(a + b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1 【评注】 本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念，均为大纲要求 的基本内容. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.528【习题二，1.（9）】 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
文登学校 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点 【分析】先求出可能极值点,再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析, 当恰好有一个极值为零时,函数f(x)恰好有两个不同的零点 【详解】f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)x-2),知可能极值点为x=1,x=2,且 f(1)=5-a,f(2)=4-a,可见当a=4时,函数f(x)恰好有两个零点 故应选(B) 【评注】对于三次多项式函数fx)=ax3+bx2+cx+d,当两个极值同号时,函数fx) 只有一个零点:当两个极值异号时,函数f(x)有三个零点:当两个极值有一为零时,函数 f(x)有两个零点 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P151【例626】 (8)112=cx2+ydo,1=-josx2+y2)a,=』ox2+y)d 其中D=1(x,y)x2+y2≤1,则 (A)13>12>1 (B)I1>12>/3 (C)12>11>13 (D)13>1>12 【分析】关键在于比较√x2+y2、x2+y2与(x2+y2)2在区域 D={(x,y)x2+y2≤1}上的大小 【详解】在区域D=(x,y)x2+y2s1上,有0≤x2+y2≤1,从而有 >1≥√x2+y2≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0 由于cosx在(0,)上为单调减函数,于是 0≤cosx2+y2≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)2 因此∫osx2+ y'do<[cos(x2+y2)<∫osx2+y2)d,故应选(A) 【评注】本题比较二重积分大小,本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调 性进行分析讨论 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P183【例82】
文登学校 3 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当 a 取下列哪个值时，函数 f (x) = 2x − 9x +12x − a 3 2 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ] 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析， 当恰好有一个极值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点. 【详解】 ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) ，知可能极值点为 x=1,x=2，且 f (1) = 5 − a, f (2) = 4 − a ，可见当 a=4 时，函数 f(x) 恰好有两个零点， 故应选(B). 【评注】 对于三次多项式函数 f(x)= ax + bx + cx + d 3 2 ,当两个极值同号时，函数 f(x) 只有一个零点；当两个极值异号时，函数 f(x) 有三个零点；当两个极值有一为零时，，函数 f(x) 有两个零点. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.151【例 6.26】 （8）设 I x y d D = + 2 2 1 cos , I x y d D = cos( + ) 2 2 2 , I x y d D = + 2 2 2 3 cos( ) , 其中 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ，则 (A) 3 2 1 I I I . （B） 1 2 3 I I I . (C) 2 1 3 I I I . (D) 3 1 2 I I I . [ A ] 【 分 析 】 关 键 在 于 比 较 2 2 x + y 、 2 2 x + y 与 2 2 2 (x + y ) 在区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y 上的大小. 【详解】 在区域 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y 上，有 0 1 2 2 x + y ，从而有 2 2 1 2 x + y 2 2 x + y ( ) 0 2 2 2 x + y 由于 cosx 在 ) 2 (0, 上为单调减函数，于是 2 2 0 cos x + y cos( ) 2 2 x + y 2 2 2 cos(x + y ) 因此 + x y d D 2 2 cos + x y d D cos( ) 2 2 x y d D + 2 2 2 cos( ) ，故应选(A). 【评注】 本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调 性进行分析讨论. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.183【例 8.2】
文登学校 )设an>0n=12,…若∑an发散,∑(-1)an收敛,则下列结论正确的是 A∑a2n收敛,∑a2发散.(B)∑a2n收敛,∑a21发散 ∑(a2n1+a2)收敛 a2n-1-a2n)收敛 【分析】可通过反例用排除法找到正确答案 【详解】取an=-,则∑an发散,∑(-1)an收敛, 但∑a2n1与∑an均发散,排除(A(B选项,且∑(a2n+a2)发散,进一步排除 (C),故应选(D)事实上,级数∑(a2n1-a2n)的部分和数列极限存在 【评注】通过反例用排除法找答案是求解类似无穷级数选择问题的最常用方法 (10)设f(x)=xsnx+cosx,下列命题中正确的是 (A)fO)是极大值,∫(∞)是极小值.(B)f(O)是极小值,∫(一)是极大值 (C)fO)是极大值,∫(⌒)也是极大值.(D)f(O)是极小值,∫(x)也是极小值 【分析】先求出f(x)f"(x),再用取极值的充分条件判断即可 【详解】f(x)=sinx+ x cosx-snx= x cosx,显然∫(0)=0,f()=0, 又f(x)=cox-xsmx,且f"(0)=1>0,f7(z)=-x<0,故f0)是极小值, f(x)是极大值,应选(B 【评注】本题为基本题型,主要考查取极值的充分条件 对应定理公式见《数学复习指南》(经济类)P41 (11)以下四个命题中,正确的是 (A)若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界 (B)若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界
文登学校 4 （9）设 a 0,n =1,2, , n 若 n=1 n a 发散， = − − 1 1 ( 1) n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) = − 1 2 1 n a n 收敛， =1 2 n a n 发散 . （B） =1 2 n a n 收敛， = − 1 2 1 n a n 发散. (C) ( ) 1 2 1 2 = − + n a n a n 收敛. (D) ( ) 1 2 1 2 = − − n a n a n 收敛. [ D ] 【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案. 【详解】 取 n an 1 = ，则 n=1 n a 发散， = − − 1 1 ( 1) n n n a 收敛， 但 = − 1 2 1 n a n 与 =1 2 n a n 均发散，排除(A),(B)选项，且 ( ) 1 2 1 2 = − + n a n a n 发散，进一步排除 (C), 故应选(D). 事实上，级数 ( ) 1 2 1 2 = − − n a n a n 的部分和数列极限存在. 【评注】 通过反例用排除法找答案是求解类似无穷级数选择问题的最常用方法. （10）设 f (x) = x sin x + cos x ,下列命题中正确的是 (A) f(0)是极大值， ) 2 ( f 是极小值. （B） f(0)是极小值， ) 2 ( f 是极大值. （C） f(0)是极大值， ) 2 ( f 也是极大值. (D) f(0)是极小值， ) 2 ( f 也是极小值. [ B ] 【分析】 先求出 f (x), f (x) ，再用取极值的充分条件判断即可. 【详解】 f (x) = sin x + x cos x − sin x = x cos x ，显然 ) 0 2 (0) = 0, ( = f f ， 又 f (x) = cos x − x sin x ，且 0 2 ) 2 (0) = 1 0, ( = − f f ，故 f(0)是极小值， ) 2 ( f 是极大值，应选(B). 【评注】 本题为基本题型，主要考查取极值的充分条件. 对应定理公式见《数学复习指南》（经济类）P.141 （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （B）若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界
文登学校 (C)若f(x)在(0,1)内有界,则fx)在(0,1)内有界 (D)若∫(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界 【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可 【详解】设f(x)=-,则fx)及∫(x) 均在(0,1)内连续,但fx)在(0,1) 内无界,排除(A)、(B),又f(x)=√x在(0,1)内有界,但f(x) 在(0,1)内 无界,排除(D).故应选(C 【评注】本题也可直接证明:用拉格朗日中值定理,有 f(x)-f()=f(x-),在(0,1)之间,由此容易推知若∫(x)在(0, 1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界 (12)设矩阵A=(an)3满足A=A,其中A是A的伴随矩阵,A为A的转置 矩阵.若a1,a12,a13为三个相等的正数,则a1为 【分析】题设与A的伴随矩阵有关,一般联想到用行列展开定理和相应公式: AA=AA=AE 【详解】由A=及A!=A4=4E,有a1=A2,j=12,3,其中A为an的 代数余子式,且AF=14E→1=4→=0或A=1 而A4=a141+a142+a143=301≠0,于是4=1,且an13故正确选项 为(A) 【评注】涉及伴随矩阵的问题是常考题型,只需注意到两个重要思路:一是用行列展 开定理,另一是用公式:AA'=AA=AE 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P272【例18】 (13)设A1,A2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1, A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是 (A)A1=0.(B)A2=0.(C)A1≠0.(D)A2≠0
文登学校 5 （C）若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. (D) 若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f (x) 在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】 设 f(x)= x 1 , 则 f(x)及 2 1 ( ) x f x = − 均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0，1） 内无界，排除(A)、(B); 又 f (x) = x 在（0，1）内有界，但 x f x 2 1 ( ) = 在（0，1）内 无界，排除(D). 故应选(C). 【评注】 本题也可直接证明：用拉格朗日中值定理，有 ), 2 1 ) ( )( 2 1 f (x) − f ( = f x − 在(0,1)之间，由此容易推知若 f (x) 在（0， 1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. （12）设矩阵 A= 3 3 ( ) aij 满足 T A = A * ，其中 * A 是 A 的伴随矩阵， T A 为 A 的转置 矩阵. 若 11 12 13 a ,a ,a 为三个相等的正数，则 11 a 为 (A) 3 3 . (B) 3. (C) 3 1 . (D) 3 . [ A ] 【分析】 题设与 A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式： . * * AA = A A = AE . 【详解】 由 T A = A * 及 AA = A A = AE * * ，有 aij = Aij ,i, j = 1,2,3 ，其中 Aij 为 ij a 的 代数余子式，且 0 2 3 AA = A E A = A A = T 或 A = 1 而 3 0 2 A = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11 ，于是 A = 1 ，且 . 3 3 a11 = 故正确选项 为(A). 【评注】 涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展 开定理，另一是用公式： . * * AA = A A = AE 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.272【例 1.8】 （13）设 1 2 , 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 2 , ，则 1， ( ) A 1 +2 线性无关的充分必要条件是 (A) 1 = 0 . (B) 2 = 0 . (C) 1 0 . (D) 2 0 . [ D ]