文登学校 以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过 2005年数学二试题分析、详解和评注 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)设y=(1+snx),则d -nx 【分析】本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或 取对数后转化为隐函数求导 【详解】方法一:y=(1+sinx)2=ex),于是 y'=erIn(+sinx).[n(1+sin x)+x COS x + sin x 从而d=y(x)dkx=-mb 方法二:两边取对数,hy=xh(1+snx),对x求导,得 X cosx y=h(1+sin x)+ 1+sn x 于是y=(1+sinx)2[ln(1+snx)+x c0Sx1,故 y(r dx=-tdx 【评注】幂指函数的求导问题,既不能单纯作为指数函数对待,也不能单纯作为幂函 数,而直接运用相应的求导公式 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P55【例2.15】 +x)2 (2)曲线y= 的斜渐近线方程为y=x+ 【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可 【详解】因为a=mf()=m(+x) x√x b=lm[(x)-ax」=lm +x)2-x23 于是所求斜渐近线方程为y=x+ 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这 里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当x→∞时,极限 a=lm(不存在,则应进一步讨论x→+或x→∞的情形,即在右或左侧是否存
文登学校 1 以下题型均在 05 年考研文登数学辅导班中讲过 2005 年数学二试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 x y = (1+ sin x) ，则 x= dy = −dx . 【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或 取对数后转化为隐函数求导. 【详解】 方法一： x y = (1+ sin x) = x ln(1 sin x) e + ，于是 ] 1 sin cos [ln(1 sin ) ln(1 sin ) x x y e x x x x + = + + + ， 从而 x= dy = y ( )dx = −dx. 方法二： 两边取对数， ln y = x ln(1+ sin x) ，对 x 求导，得 x x x y x y 1 sin cos ln(1 sin ) 1 + = + + ， 于是 ] 1 sin cos (1 sin ) [ln(1 sin ) x x y x x x x + = + + + ，故 x= dy = y ( )dx = −dx. 【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函 数，而直接运用相应的求导公式. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.55【例 2.15】 （2） 曲线 x x y 2 3 (1+ ) = 的斜渐近线方程为 2 3 y = x + . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为 a= 1, (1 ) lim ( ) lim 2 3 = + = →+ →+ x x x x f x x x 2 (1 ) 3 lim ( ) lim 2 3 2 3 = + − = − = →+ →+ x x x b f x ax x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 2 3 y = x + 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这 里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当 x → 时，极限 x f x a x ( ) lim → = 不存在，则应进一步讨论 x → + 或 x →− 的情形，即在右或左侧是否存
文登学校 在斜渐近线,本题定义域为x>0,所以只考虑x→+∞的情形 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P192【例732】 (3) 【分析】作三角代换求积分即可 【详解】令x=snt,则 xdx sin t cos t (2-x2)1-x21(2-sn21)cost d cost =-arctan(cos t) 1+cos t 【评注】本题为广义积分,但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P130【例454】 (4)微分方程xy+2y=xhx满足y(1)=-的解为y3+ x 【分析】直接套用一阶线性微分方程y+P(x)y=Q(x)的通解公式 y=e)x))+] 再由初始条件确定任意常数即可 【详解】原方程等价为 y+-y=Inx 于是通解为y=c血xck+门=订xhx+门 =-xInx--x+C 由y(1)=-a得C=0,故所求解为y=x 【评注】本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外,本题也 可如下求解:原方程可化为 x2y+2xy=x2hx,即[x2y=x2hx,两边积分得 xy=「x2 In xdr 1 再代入初始条件即可得所求解为y+hx-x 完全类似公式见《数学复习指南》(理工类)P154
文登学校 2 在斜渐近线，本题定义域为 x>0，所以只考虑 x → + 的情形. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例 7.32】 （3） = − − 1 0 2 2 (2 x ) 1 x xdx 4 . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令 x = sin t ，则 = − − 1 0 2 2 (2 x ) 1 x xdx − 2 0 2 (2 sin ) cos sin cos dt t t t t = . 4 arctan(cos ) 1 cos cos 2 0 2 0 2 = − = + − t t d t 【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.130【例 4.54】 （4） 微分方程 xy + 2y = x ln x 满足 9 1 y(1) = − 的解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x . 【分析】直接套用一阶线性微分方程 y + P(x) y = Q(x) 的通解公式： + = − [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x dx P x dx ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y x x y ln 2 + = ， 于是通解为 + = + = − [ ln ] 1 [ ln ] 2 2 2 2 x xdx C x y e x e dx C d x x d x x = 2 1 9 1 ln 3 1 x x x − x + C ， 由 9 1 y(1) = − 得 C=0，故所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也 可如下求解：原方程可化为 x y 2xy x ln x 2 2 + = ，即 [x y] x ln x 2 2 = ，两边积分得 x y = x xdx = x x − x + C 2 2 3 3 9 1 ln 3 1 ln ， 再代入初始条件即可得所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154
学校 (5)当x→>0时,(x)=kx2与B(x)=√1+ x arcsin x-√cosx是等价无穷小,则 【分析】题设相当于已知lmnB(x)=1,由此确定k即可 【详解】由题设,mB(x)=my+ arcsin- Vcos I+0 a(x)I+0 x arcsin x+1-cos x lim 3如 x arcs x+1-cosx3 1,得k= 4k 【评注】无穷小量比较问题是历年考查较多的部分,本质上,这类问题均转化为极限 的计算 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P38【例162-63】 (6)设a12a2,a3均为3维列向量,记矩阵 A=(a1,a2,a3),B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+3a2+9a3), 如果A=1,那么团= 【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可 【详解】由题设,有 B ,+c,+C 3:1 +2a,+4a2,a1+3a,+9a (a 3123 于是有=1423=1×2=2 【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示,关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地,若 B1=a1a1+a12a2+…+a1nn, B2
文登学校 3 （5）当 x →0 时， 2 (x) = kx 与 (x) = 1+ x arcsin x − cos x 是等价无穷小，则 k= 4 3 . 【分析】 题设相当于已知 1 ( ) ( ) lim 0 = → x x x ，由此确定 k 即可. 【详解】 由题设， 2 0 0 1 arcsin cos lim ( ) ( ) lim k x x x x x x x x + − = → → = ( 1 arcsin cos ) arcsin 1 cos lim 2 0 kx x x x x x x x + + + − → = 2k 1 1 4 arcsin 1 cos 3 lim 2 0 = = + − → x k x x x x ，得 . 4 3 k = 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限 的计算. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.38【例 1.62~63】 （6）设 1 2 3 , , 均为 3 维列向量，记矩阵 ( , , ) A = 1 2 3 ， ( , 2 4 , 3 9 ) B = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 ， 如果 A = 1 ，那么 B = 2 . 【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可. 【详解】 由题设，有 ( , 2 4 , 3 9 ) B = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 = 1 4 9 1 2 3 1 1 1 ( , , ) 1 2 3 ， 于是有 1 2 2. 1 4 9 1 2 3 1 1 1 B = A = = 【评注】 本题相当于矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示，关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若 1 = a111 + a12 2 ++ a1n n ， 2 = a211 + a22 2 ++ a2n n
学校 B 则有DB1B2…Bn]=[a a12a22 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P356【例15】 、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数f(x)=lm+|”,则fx)在(-∞2+∞)内 (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 【分析】先求出fx)的表达式,再讨论其可导情形 详解1当|<1时,(x)=lmnh+=1 当1=1时,f(x)=lm+1=1 当>1时,f(x)=lm(+1)= x3,x<-1l, 即f(x)={1,-1≤x≤1,可见fx仅在x=±1时不可导,故应选(C) x>1 【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P56【例2.20】 (8)设F(x)是连续函数fx)的一个原函数,"MN"表示“M的充分必要条件是 则必有 (A)F(x)是偶函数fx)是奇函数 (B)F(x)是奇函数分→f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数兮f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数→f(x)是单调函数 【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案 【详解】方法一:任一原函数可表示为F(x)=f()d+C,且Fx)=f(x) 当F(x)为偶函数时,有F(-x)=F(x),于是F(-x)(-1)=F(x),即-f(-x)=f(x)
文登学校 4 m = am11 + am2 2 ++ amn n ， 则有 , , , . 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 1 2 = n n mn m m m n a a a a a a a a a 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.356【例 1.5】 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 n n n f x x 3 ( ) = lim 1+ → ，则 f(x)在 (−,+) 内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当 x 1 时， ( ) lim 1 1 3 = + = → n n n f x x ； 当 x =1 时， ( ) = lim 1+1 =1 → n n f x ； 当 x 1 时， 1) . 1 ( ) lim ( 3 1 3 3 x x f x x n n n = + = → 即 1. 1 1, 1, , 1, , ( ) 3 3 − − − = x x x x x f x 可见 f(x)仅在 x= 1 时不可导，故应选(C). 【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.56【例 2.20】 （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， "M N" 表示“M 的充分必要条件是 N”， 则必有 (A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 = + x F x f t dt C 0 ( ) ( ) ，且 F(x) = f (x). 当 F(x)为偶函数时，有 F(−x) = F(x) ，于是 F(−x)(−1) = F(x) ，即 − f (−x) = f (x)
文登学校 也即f(-x)=-f(x),可见fx为奇函数:反过来,若f(x为奇函数,则[f(1)dt为偶函 数,从而F(x)=f()dm+C为偶函数,可见(A)为正确选项 方法二:令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C),令f(x)=x,则取F(x)=x2,排除(D) 故应选(A) 【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思 考fx)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P10【例1.5-1.7】 (9)设函数y(参数方e/x=12÷0、确定,则曲线y=0)在x3处的法线与x y=ln(1+) 轴交点的横坐标是 (A)-hn2+3 ln2+3 8hn2+3 (D)8l2+3 A 【分析】先由x=3确定t的取值,进而求出在此点的导数及相应的法线方程,从而可 得所需的横坐标 【详解】当x=3时,有t2+2t=3,得t=1,t=-3(舍去,此时y无意义),于是 可见过点x=3(此时y=n2)的法线方程为 y-hn2=-8(x-3), 令y=0,得其与x轴交点的横坐标为:ln2+3,故应(A 【评注】注意本题法线的斜率应为8.此类问题没有本质困难,但在计算过程中应 特别小心,稍不注意答案就可能出错 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P53【例29】 10)设区域D={xy)x2+y2≤4x≥0,y≥0),fx)为D上的正值连续函数,ab 为常数,则 f(x)+b√f(y) √f(x)+√f(y) (A)abT. (B)T. (c)(a+b)T. ( D)4+6 ab 【分析】由于未知fx)的具体形式,直接化为用极坐标计算显然是困难的.本题可考 虑用轮换对称性 【详解】由轮换对称性,有
文登学校 5 也即 f (−x) = − f (x) ，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 x f t dt 0 ( ) 为偶函 数，从而 = + x F x f t dt C 0 ( ) ( ) 为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)= 2 2 1 x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数 f(x)与其原函数 F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思 考 f(x)与其原函数 F(x)的有界性之间有何关系？ 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.10【例 1.5~1.7】 （9）设函数 y=y(x)由参数方程 = + = + ln(1 ) 2 , 2 y t x t t 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是 (A) ln 2 3 8 1 + . (B) ln 2 3 8 1 − + . (C) −8ln 2 + 3 . (D) 8ln 2 + 3 . [ A ] 【分析】 先由 x=3 确定 t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可 得所需的横坐标. 【详解】 当 x=3 时，有 2 3 2 t + t = ，得 t = 1,t = −3 （舍去，此时 y 无意义），于是 8 1 2 2 1 1 1 1 = + + = t= t= t t dx dy ，可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为： y − ln 2 = −8(x − 3)， 令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为： ln 2 3 8 1 + , 故应(A). 【评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应 特别小心，稍不注意答案就可能出错. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.53【例 2.9】 （10）设区域 {( , ) 4, 0, 0} 2 2 D = x y x + y x y ，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则 = + + d f x f y a f x b f y D ( ) ( ) ( ) ( ) (A) ab . (B) 2 ab . (C) (a + b) . (D) 2 a + b . [ D ] 【分析】 由于未知 f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考 虑用轮换对称性. 【详解】 由轮换对称性，有