§6行列式按行列)展开 °对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 °本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式
§6 行列式按行(列)展开 •对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式
、引言 2+a12l 21 22 122u33 2+ 12423431 132132 231 32 11023432 12u2133 13“22u31 1(22 23-32 +a12(a2331-a213 +a,(a 13 2132 22-31 22 23 21 23 21 u32 a 12 13 结论三阶行列式可以用二阶行列式表示 思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示?
一、引言 11 22 12 23 31 1 12 21 33 33 3 21 32 11 23 32 13 22 31 a a a a a a a a a a − a a a a a − a a a = − + + 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ( ) ( ) ( ) 12 23 3 13 21 3 11 2 22 3 22 33 3 2 1 21 33 1 2 3 a a a a a a a a a a a a a = + a a + − − − 22 23 21 23 21 23 11 12 13 32 33 31 33 31 33 a a a a a a a a a a a a a a a = − + 结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示. 思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n阶行列式中,把元素an所在的第i和第j列划后, 留下来的n-1阶行列式叫做元素a,的余子式,记作M 把4=(-1为素的代数余子式 例如 12 13 4 12 14 D 34 32 33 34 42 A2=(-1)M2=-M2 结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素,所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式
例如 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a D a a a a a a a a = 11 12 14 23 31 32 34 41 42 44 a a a M a a a a a a = ( ) 2 3 23 23 23 A M M 1 + = − = − 把 ( 1) 称为元素 的代数余子式． i j A M ij ij + = − aij 在n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后， 留下来的n－1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 . i j aij Mij aij 结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式
引理一个m阶行列式,如果其中第行所有元素除an 外都为零,郛么这行列式等于a与它的代数余子式的乘 积,即D 11 12 14 21 2 23 3+3 例如D= 0…0…t… 334133 3333 33 12 12 4 3+3 3321 22 24 33 21 a 2 24 42
引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘 积，即 D a A = ij ij ． 11 12 13 14 21 22 23 24 33 41 42 43 44 0 0 0 a a a a a a a a D a a a a a = ( ) 11 12 14 3 3 33 21 22 24 41 42 44 1 a a a a a a a a a a + = − 例如 ( ) 3 3 33 33 33 33 a A a M 1 + = = − 11 12 14 33 21 22 24 41 42 44 a a a a a a a a a a = i aij aij
分析当于第1行第1列时, 0 D= 22 2n n2 即有D=a1M1(根据P14例10的结论) 又A1=(-1)Mn=M1 从而D=an1A1 下面再讨论一般情形
11 21 22 2 1 2 0 0 n n n nn a a a a D a a a = 即有 11 11 D a M = . 又 ( ) 1 1 11 11 11 A M M 1 , + = − = 从而 11 11 D a A = . 下面再讨论一般情形. 分析 当 位于第1行第1列时, ij a （根据P.14例10的结论）