高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三节微积分基本公 积分上限函数及其导数 牛顿—莱布尼兹公式 Http://www.heut.edu.cn
第三节 微积分基本公式 积分上限函数及其导数 牛顿——莱布尼兹公式
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a,b上连续,并且设 为a,b上的一点,考察函数x)在部分区间[a,b 上的定积阶f(x)dx 首先,由承x)在,x上仍旧连续,因此积 存在。这x即表示定积分的上限,又表示积分变量 因为定积分与积分变量的记法无关,所以,为了 起见,可以积分变量改用其它符号,例如用t表示 则上面的定积分 Http://www.heut.edu.cn
设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上连续，并且设x 为[a, b]上的一点， 考察函数f(x)在部分区间[a,b] x a 上的定积分f ( x)d x 首先，由于f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此这个 定积分 存在。这时 x 即表示定积分的上限，又表示积分变量。 因为定积分与积分变量的记法无关， 所以，为了明确 起见，可以把 积分变量改用其它符号，例如用t 表示 则上面的定积分可以写 成 一、积分上限函数及其导数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(t)dt 即「f(x)dx=「f(t)dr 如果上限在区间a,b上任意变动,则对于 每一个取定的值,定积分有一个对应值,所以 它在,b上定义了一个函数,称为积分上限 记为Φ(x)=[f(t)lt.积分上限函数 Http://www.heut.edu.cn
记为 ( ) ( ) . = x a x f t d t 如果上限x 在区间[a,b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它 在[a,b]上定义了一个函数， x a f (t)dt 即 = x a f (x)dx x a f (t)dt 称为积分上限函数。 积分上限函数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 积分上限函教的性质 定理1如果f(x)在[a,b上连续,则积分上限的函 数①(x)=「f(OM在a,b1上具有导数,且它的导数 是Φ(x) f(t)lt=f(x)(a≤x≤b) dx a x+△r 证Φ(x+△x)= f∫(t)lt △Φ=Φ(x+△x)-Φ(x) x+△x f(tt- f(tt xx+△vbx tt p : // h
a b x y o 定理１ 如果 f (x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导数 是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = ( x + x) − ( x) f t d t f t d t x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x 积分上限函数的性质
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> =f(M+」.f(o)t-Jnf(t x+△v f∫(t)ld 由积分中值定理得 Φ(x): axx+△bx △Φ=∫(4△x5∈Ix,x+Axl Axf(5),m△Φ △Φ lim f(s △x->0△x△x→>0 △x→>0,5→>x Φ(x)=∫(x) Http://www.heut.edu.cn
f t d t f t d t f t d t x a x x x x a = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f()x [ x, x + x], x→0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = ( x) = f ( x). a b x y o x + x (x) x