高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 复合函数的求导法则 小结 思考题 Http://www.heut.edu.cn
第三节 复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 小结 思考题
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 复合函数的求导法贝 如果函数u=Q(x)在点x可导,而y=f(a) 在点uo=(x)可导,则复合函数y=fq(x)在点 x可导,且其导数为 小y f∫(u)·φ(x) dx 即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) Http://www.heut.edu.cn
( ) ( ). , ( ) , [ ( )] ( ) , ( ) 0 0 0 0 0 0 0 f u x dx dy x u x y f x u x x y f u x x = = = = = = 可 导 且其导数为 在 点 可 导 则复合函数 在 点 如果函数 在 点 可 导 而 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 一、复合函数的求导法则
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> △ 证由y=f(n)在点可导,m=f(4n) △ 故=∫'(un)+a(lima=0) △→>0 则△y=f(0)△Mn+aM My= limlf (u)NX △ △ lim △x→>0△△x→>0 △x =f(uo)lim + lim a li△H △x→>0△v△x→>0△x→>0△v f∫(u0)p'(x0) Http://www.heut.edu.cn
证 ( ) , 由y = f u 在点u0可导 lim ( ) 0 0 f u u y u = → ( ) (lim 0) 0 = 0 + = → u f u u y 故 则 y = f (u0 )u +u x y x →0 lim lim[ ( ) ] 0 0 x u x u f u x + = → x u x u f u x x x + = →0 →0 →0 0 ( ) lim lim lim ( ) ( ). u0 x0 = f
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 推广设y=f(u),u=q(v),v=v(x), 则复合函数y=f{|y(x)的导数为 dy dy du dv dx du dy dx 例1求函数y= In sin x的导数 解∵y=lnu,u=sinx. dy dy du 1 cos cos r =cotx dx du dx u sInd Http://www.heut.edu.cn
推广 设 y = f (u), u = (v), v =(x), . { [ ( )]} dx dv dv du du dy dx dy y f x = 则复合函数 = 的导数为 例1 求函数 y = lnsin x的导数. 解 y = ln u, u = sin x. dx du du dy dx dy = x u cos 1 = x x sin cos = = cot x
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求函数y= Inside的导数 解:y=lnuu=sinv=e2 dydy du d du dy dx Cosp·c coSe·C sIne e ctge Http://www.heut.edu.cn
例2 求函数 lnsin 的导数. x y = e 解: x y = lnu u = sinv v = e dx dv dv du du dy dx dy = x v e u = cos 1 x x x e e e = cos sin 1 x x = e ctge