高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第四节定积分的法 ●换元公式 小结 Http://www.heut.edu.cn
第四节 定积分的换元法 换元公式 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 换元公式 由上一讲结果知道,详算定积分。∫(x)的简便方法 是把它转化为求f(x)原函数的增量。在上章中,我们 知道用换元公式法可味出一些函数的原函数 因此,在一定条件下,可以用换元法来计算烟分,为 了说明如何用换元法来算定积分,先证明面 个定理。即换元公式 Http://www.heut.edu.cn
b a 由上一讲结果知道，计算定积分 f (x)dx的简便方法 是把它转化为求f (x)的原函数的增量。在上一章中，我们 知道用换元公式法可以求出一些函数的原函数. 因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分，为 了说明如何用换元法来计算定积分，先证明下面 一个定理。即换元公式 一、换元公式
高数课程妥媒血课件 理工大理>> 丫假设 (1)f(x)在[a,b上连续; (2)函数x=q(t)在a,上是单值的且有连续 导数; (3)当在区间[a,6上变化时,x=(t)的值 在[a,b上变化,且q(a)=a、q(B)=b, 则有换元公式 f(xxx= flo(t)lo(t)dt Http://www.heut.edu.cn
假设 （1） f (x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) . 则有换元公式 定理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证设F(x)是∫(x)的一个原函数, Cf(xx=F(b)-F(a), ①()=Fp(), df dx d() dx dt/(xo(t)=folo(e), Φ()是∫|q()p()的一个原函数 rflo(olo( dt=a(B)-QD(a), Http://www.heut.edu.cn
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = − (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) = = f (x)(t)= f[(t)](t), [( )]( ) = () − (), f t t dt (t)是 f[(t)](t)的一个原函数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> q(a)=a、q(B)=b, qp(B)-qp(a)=FIP(B)]- Flp(a)l F(b)-F(a), b f(x)x= F(b-F(a=q(B)-q(a) B ∫|φ(t)lp(tlt a 注 意 当a>B时,换元公式仍成立 tt p : // h
() = a、( ) = b, ( ) − ( ) = F[( )] − F[()] = F ( b ) − F ( a), f (x)dx F(b) F(a) ba = − = ( ) − () f [ (t)] (t)dt. = 当 时，换元公式仍成立. 注意