高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ●问题的提出 微分的定义 可微的杀件 微分的几何意义 微分的求法 ●微分形式的不变性 小结 Http://www.heut.edu.cn
第七节 函数的微分 问题的提出 微分的定义 可微的条件 微分的几何意义 微分的求法 微分形式的不变性 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 问题的提出 实例正方形金属簖片受熟后面积的改变量 设边长由x变到x+△x, △r 正方形面积A=xn2 x「 △4=(x0+△x)2-x0 2 2 A 2x0·△x+(△x) 2 (2) (1):△x的线性函数且为△4的主要部分 (2):△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略 Http://www.heut.edu.cn
2 0 A = x 0 x 0 x , 0 0 设边长由x 变到x + x , 2 0 正方形面积A= x 2 0 2 0 A= (x + x) − x 2 ( ) . 2 0 = x x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0 实例 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 一、问题的提出
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 再例如,设函数y=x在点x处的改变量 为Δx时,求函数的改变量△ 4y=(x0+△x)3-xa =3x2△x+3xn(△x)2+(△)3 (2) 当△x很小时,(2)是△x的高阶无穷小o(△x), △p≈3x2·△x.既容易计算又是较好的近似值 问题这个线性函数(改变量的主要部分是否所 有函数的改变量都有?它是什么?如何求? Http://www.heut.edu.cn
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在 点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 0 = x x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 0 y x x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 这个线性函数(改变量的主要部分)是否所 有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 问题:
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、微分的定义 当设函数y=f(x)在某区间内有定义 x及x+Ax在这区间内,如果 △y=f(xo+△x)-f(x0)=A·△x+O(△x) 成立(其中A是与Ax无关的常数,则称函数 y=f(x)在点x可微,并且称A△x为函数 y=f(x)在点x相应于自变量增量∧x的微分, 记作如x。或d(x),即dx=x=A△x 微分小叫做函数增量A的线性主部微分的实质) Http://www.heut.edu.cn
( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 定义 二、微分的定义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 由定义知 (1)是自变量的改变量△x的线性函数; (2)y-dy=o(△x)是比Ax高阶无穷少 (3)当4≠0时,d与4是等价无穷小 △ =1+ 0(△x) A.△x→>1(x→0 (4)A是与△无关的常数,但与f(x)和x有关; (5)当A很小时≈(线性主部 Http://www.heut.edu.cn
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − d y= o(x)是 比x高阶无穷小; (3)当A 0时,d y与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部). 由定义知: