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第 3 节 平面曲线的弧长 平面曲线的弧长
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 平面曲线弧长的概念 设A、B是曲线弧上的两y 个端点,在弧上插入分点 M B=M 05 M.MB n-19 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长∑|M1M1的极限存在,则称此极限为 曲线弧AB的弧长 Http://www.heut.edu.cn
o x y A = M 0 M1 B = M n M 2 设 M n−1 A 、B 是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1 1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 注 曲线可求长的充分条件定理 结论:光滑的曲线弧是可求长的 曲线“光滑”是指具有连续导数。具体地: (1)如果曲线方程是由y=f(x)x∈a4列给出, 则该曲线光滑是指:f(x)ab可导并面x)连续 (2)如果曲线是由参数方程 (( t∈Ia,月给出 y=y 则该曲线光滑是指:(),v()在区,上 可导,并妞(),y()连续 Http://www.heut.edu.cn
曲线可求长的充分条件定理 结论：光滑的曲线弧是可求长的。 曲线“光滑”是指具有连续导数。具体地： （1）如果曲线方程是由 y= f(x), x[a,b] 给出， 则该曲线光滑是指： f(x)在[a,b]上可导并且f(x)连续。 （2）如果曲线是由参数方程 [ , ]给 出 ( ) ( ) = = t y t x t 则该曲线光滑是指： （t),(t)在区间[，]上 可导，并且（t),(t)连续。 注 意
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (3)若曲线是由极坐标给出r=(O2O∈[ 那么,曲线光滑是指函数 r=r(O在c可导,并连续 以下,我们分别就(1)、(2)、(3)这三种情况来 讨论如何用元素法来求相应曲线的弧长。 Http://www.heut.edu.cn
（3）若曲线是由极坐标给出 r=r(),[,] 那么，曲线光滑是指函数 r =r()在[，]上可导，并且r()连续。 以下，我们分别就（1）、（2）、（3）这三种情况来 讨论如何用元素法来求相应曲线的弧长
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 直角坐标的情形 设曲线弧为y=f(x) (a≤x≤b),其中f(x) 在[,b上有一阶连续导数 取积分变量为,在a,b 上任取小区间[x,x+dx], xx+dx b 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长x)2+(小y)2=+y2hc 弧长元素d=1+y2ax弧长s=[√1+y2lx Http://www.heut.edu.cn
设曲线弧为y = f ( x) (a x b)，其中f ( x) 在[a, b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ， 在[a,b] 上任取小区间[ x, x + d x]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ 弧长元素 ds y dx 2 = 1+ 弧长 1 . 2 s y d x b a = + 一、直角坐标的情形