高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第六节 求导 晚函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定的函数的导数 小结 Http://www.heut.edu.cn
第六节 隐函数求导与参数方程求导 隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定的函数的导数 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 一、隐函数的导数 凶由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0y=f(x)隐函数的显化 问题隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 Http://www.heut.edu.cn
由方程所确定的函数 y = y(x)称为隐函数. y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 定义 问题 隐函数求导法则: 一、隐函数的导数
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求由方程 dy-e +eJ 0所确定的隐函数 y的导数, dxdx 解方程两边对求导 dh x e"te 0 d x 解得=-”,由原方程知x=0,y=0 r x+e dy e dt/r=0≈ y|x=0 xte'ly= Http://www.heut.edu.cn
例1 , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + − = y y x x x x e e y dx dy = 1
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2设曲线C的方程为x3+y3=3xy求过C上 点(,)的切线方程,并证明曲线C在该点的法 22 线通过原点 解方程两边对求导,3x2+3y2y=3y+3y y-rt y-x 3 所求切线方程为y2-(x-2 即x+y-3=0 法线方程为y2 3即y=x,显然通过原点 2 Http://www.heut.edu.cn
例2 . ) , 2 3 , 2 3 ( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求过 上 C C x + y = x y C 解 方程两边对x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − − = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3设x4-xgy+y4=1,求y在点(0,1)处的值 解方程两边对x求导得 4x'-y-xy+4y'y=0 (1) 代入x=0,y=1得y1x-0=; =1 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y-xy"+12y2(y)2+4y3y"=0 代入x=0,y x=0 得y 4 x=0 16 Http://www.heut.edu.cn
例 3 1, (0,1) . 设 x4 − xy + y4 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy + y y = 代入 x = 0, y = 1 得 ; 41 1 0 = == yx y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y − xy + y y + y y = 得41 1 0 = ==yx 代入 x = 0, y = 1, y . 161 1 0 = − == yx y