高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ◎高阶导数的定义 高阶导数求法举例 小结 Http://www.heut.edu.cn
第五节 高阶导数 高阶导数的定义 高阶导数求法举例 小结
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 高阶导数的定义 问是 题:变速直线通动的加速度 设s=∫(),则瞬时速度为v(t)=f(t) 加速度a是速度对时间t变化率 ∴a(t)=v'(t)=[f'(t) 如果函数(x)的导数f(x)在点处可导即 f(xDr=lim f(x+△x)-f(x) △v→>0 △x 存在,则称f(x)为函数f(x)在点x处的二阶导数 Http://www.heut.edu.cn
, ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存 在 则 称 为函数 在 点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在 点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = → 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) = v(t) = [ f (t)] . 问题:变速直线运动的加速度. 定义 一、高阶导数的定义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 记作"(x),y",“或“(x) dx 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x),y d 三阶导数的导数称为四阶导数,f(bp(dy 般地,函数f(x)n-阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数,记作 fn)(、d"yatd"f(x) dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地f(x)称为零阶导数(x)称为一阶导数 Http://www.heut.edu.cn
记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 函数 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、高阶导数求法举例 1.直搂法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例1设y= arctan,求f"(0),fm 解y 2x J 1+x x (1+x2) 2x 2(3x-2-1) (1+x2)2(1+x2) 2 2r 0;f"(0) 2(3x2-1) 2 2、3|x=0 (1+x (1+x Http://www.heut.edu.cn
例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x = 0; f = −2. 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 二、 高阶导数求法举例
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2设y=x°(a∈R,求ym) 解 y =ax y=(x0)=a(o-1)x =(a(a-1)x-)=a(a-1)(-2)x03 (n) a(a-1)…(a-n+1)x-( 若为自然数n,则 (n) (n) (n+1) (n!)’=0 Http://www.heut.edu.cn
例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x 3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) = − − x 2 = − − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若 为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0