第二章环的基础知识因此我们也可以直接从四维空间出发，利用上述乘法表以及分配律来重新定义四元数体，实际上，人们最初就是这样构造四元数体的，如果我们就把1看成通常的实数单位1，把i看成虚数单位V1，那么四元数体相当于包含了复数域，这就等于扩充了复数域.遗憾的是，四元数体不满足乘法交换律注2.2.1假如我们把（i.i.k）看成右手螺旋的三维空间坐标架，那么它们两两之间的乘法■可以按照向量叉乘的右手螺旋法则来对应，这样比较方便记忆，例2.2.1设=al+bi+cj+dk,ü=al-bi-cj-dk,N(u):=a?+b?+c2+d直接验算可得.U-V.=N()1我们称N(）为u的范数（Norm)，称为的共轭元.任何非零元的乘法逆元d6.-1=·(lo|1)-1=1-C-0l例2.2.2设α=31+4i+k,β=j-2k(1)α+β=31+4i+j-k(2)a.B=a.j-2a.k=(31-j+4i.j+k-j)-2(31.k+4i.k+k·k)= (3j +4ki) -2(3k4j1)=21-i+11j-2k.类似可得β·α=21+i-5j-10k-(3)α·β-1=α-β.(N(β)1)-1=α·β=号1+i-号j+k2.2.2除环（体）的抽象定义定义2.2.2假设H是至少含有两个元素的集合，并具有运算”+”和””，如果H满足除了乘法交换律以外的所有公理（即(AO-A4)，（MO-M1,M3-M4)及(AM)，则称之为除环(Divisionring).进一步，如果H不满足乘法交换律，则亦称之为体（Body，Skewfiled)注2.2.2（1)有些书上，也将除环统译为“体”；为了强调非交换性，将体称作斜体(Skewfiled)或非交换体(2)从定义看，除环其实只有域（满足乘法交换律)和体（不满足乘法交换律)两类-(3）有时为书写方便，我们仍然将零元记为0，幺元记为1.例2.2.3(1)域都是除环，但不是体1(2)哈密顿四元数体是体我们也可以类似引进子除环（子体）的概念- 17-
第二章环的基础知识定义2.2.3个假设H是除环，FCH是非空子集.如果F在H的加法和乘法运算下，构成一个除环，则称F是H的子除环(Division subring)。如果F不满足乘法交换律，则亦称作子体，显然，一个域的子除环就是它的子域，这两个概念在此时是一样，体的子除环有可能是域，也可能不是域例2.2.4(1) 设F=(al + bi|a,be R) CH它是四元数体H的子除环，并且是域（实际上它和复数域同构)。(2)设E是实数域中的子域.我们定义E = [al + bi + cj + dkl a,b, c, d e E) C H.它是H的子体-例2.2.5设H是除环.我们定义集合C(H) =(ala-r=a.a, Vre H).我们来验证，C(H)是H的子除环，并且是域.我们称C(H）是H的中心（Center)，C(H)中的元素称为中心元素：由定义，中心元素就是和除环中任何元素乘法可交换的元首先，显然有0,1EH.设a,bEC(H).对任何&EH，我们有(a.b).a=a.(6.a)=a(a.b)=(a.b).a=a.(b.a)=a.(a.b)因而a·beC(H).类似可证a+beC(H).当a≠O时,a-1.=a-1,.(a+a-1)=a-1.(r·a)-a-1 =a-1.(a·r)-a-1=(a-1.a)··a-1 =.a-1这就推出 a-l C(H).类似可得-aEC(H)由中心的定义，显见C(H)的乘法满足交换律.其余公理容易验证，我们不再赞述同样地，我们也可引进除环的同态和同构概念定义2.2.4设α：F一→H是除环之间的映射：如果它满足以下诸条件，则称之为除环同态：(1)a(a+y)=o(a)+a(y),Va,yEF.(2) o(a y) =o(r) -o(y), Va,ye F进一步，如果α是单射（满射)，我们就说它是单同态（满同态）如果存在同态T：H一F使得gT=IdH及Ta=IdF，则称为同构，T=g-1为逆映射，有时简记该同构为F兰H.除环H到自身的同构简称为自同构例2.2.6我们有复数域到四元数体的单同态：C-H, a+bv-i→al+bi.例2.2.7验证四元数体的中心同构于R-18-
第二章环的基础知识假设v=al+bi+cj+dkEC(H).于是i=i-v.这就推出c=d=0.同样地，由uj=j·v推出b=0,因而=al.反之，形如a1的元素都在C(H)中。这就表明C(H)=(a1aER).我们可以建立自然的同构g:R→C(H), a-→al.具体验证留给读者.-例2.2.8（内自同构）设H是除环，9EH是给定的非零元.我们定义映射g:HH,a→qa.-l.对任何a,EH,显然有(1)og(r+y)=q.(+y)-q-1=(q+q.y)q-1=q.a.q-1+q.yq-1=o(r)+o(y)(2) og(ay)=q..y-q-l=q..(q-l.q)-y-q-l= (q.-q-l)-(q-y.q-l)=o(a)a(y)因此α是除环同态.另一方面，考虑q-1所诱导的同态Oq-H→H, -→q.-q我们有OqOg-1=IdH,Oq-10q=IdH因此是除环H的自同构.这种自同构也称为内自同构(Innerautomorphism)。显然，如果H是域的话，上述同构就是恒等映射．但对体来说，内自同构未必是恒同的.比如在四元数体H中，取q=i.则有非恒同映射og:H→H,al+bi+cj+dk→al+bi-cj-dk.例2.2.9（共轭映射）考虑H的共轭映射g:HH,al+bi+cj+dk→al-bi-cj-dk.对任何u,UEH，我们有(2-1)(u+v) =o(u) +o(v)我们可以验证如下关系式(2-2)o(u:v) =a(v) .o(w)请注意，通常α(u)·α(u）≠α(u)·α().因此共轭映射不是同态！我们把满足式(2-1)和(2-2)的.映射称为反同态，2.2.3除环的基本性质域的很多性质在一般的除环中也成立，并且证明是完全类似的.比如命题（1.4.1）和命题(1.6.1)在除环中也成立.为方便读者，这里罗列一下（我们暂时不讨论特征的问题)命题2.2.1设H是除环，我们有如下性质：(1)零元和么元都是唯一的，每个非零元的加法（乘法）逆元也是唯一的(2)对任何aEH,都有0·a=a·0=0.-19-
第二章环的基础知识(3)对任何aEH,都有(-1)·a=a·(-1)=-a(4)对任何a,bEH,都有(-a).b=a·(-b)=-(a-b)(5)01以及-0=0,1-1=1和(-1)-1=-1.(6)（无零因子）若ab=0，则要么a=0，要么b=0.(7)（消去律）如果a·c=b·c,且c≠0,那么a=b(8）任意多个子除环的交也是子除环设α：F→H是非平凡的除环同构.我们有(9) (0) = 0, (1) = 1,(10)对任何非零元EE，我们有g(-r) =-(), (r-l) =a(r)-1.特别地，非零元的像必定非零(11)α是单同态，像集Ima是F的子除环(12)a:F→Ima是除环同构.注2.2.3由于体没有乘法交换律，一些在域中平凡的性质在体中则未必显而易见，甚至未必正确。比如在除环H中，(1)我们有以下恒等式（见习题2.8)(a-b)-1=b-1.a-l, Va,beH如果H不是域的话，上式右边a-1和b-1的位置不能随便调换(2）对于一个等式a=b，我们两边乘以元素c时，一定要注意必须同时右乘或同时左乘，这样才能保持等号成立，即ac=bc或ca=cb.(3)在体中，我们实际上能定义两种除法a·b-1与b-1.a.它们通常不相同，所以不能混淆地写成% (但在域中通常不会有歧义).■类似地，给定非空子集SCH，我们也可以定义由S生成的子除环，也就是S中的元素通过加、乘及求逆运算得到的各种可能的元素的全体.特别地，也可以定义素域和特征的概念此处不再赞述，现在我们希望研究除环的中心和除环本身相差多大，对域来说，这两者是相同的.我们给出如下结论定理2.2.1设H是一个体，aEF是中心以外的元素.设Sa=(q·a·q-lIqe, q+0)那么H由 S。生成，这里S。称为a的共轭类.为证此结论，我们需要一个引理.引理2.2.1设a,bEH满足a-bb.a.令c=(b-1)-1.a·(b-1),则b=(a-c) ·(6-1.a·b-c)-1,特别地，b落在由Sa生成的子除环中（定义见定理2.2.1)证明这来自于直接计算.具体如下：b.(b-l.a.b-c)=a-b-b.c=a.b-((b-1).c+1.c)-20-
第二章环的基础知识= a ·b - (a · (b - 1) + c) = (a ·b- a (b -1)) - c= a - c.现在我们说明b-1a·b-c≠0.若不然，由上式推出a=c,因而由c的定义得(b-1)a=a(b-1)，-整理即得ab=ba，与命题条件矛盾！由此即得结论注2.2.4我们也可以证明上述结论中b-1.a·b-C≠0.若不然可得(b - 1)6-lab = a(b - 1).上式左边等于(1-b-1)ab=ab-b-1ab=a(b-1)+a-b-1ab,因此就得到等式a=b-1ab,即-ab=ba，矛盾！引理2.2.2设K是由Sa生成的子除环，我们有(1)如果K≠H，那么对任何bEHK，b与K中的任何元素都乘法可交换(2)K中必有两个元素乘法不可交换证明（1)如果6与S。中每个元素乘法可交换，那么它当然也和K中每个元素交换（因为K是由Sa生成的)，不妨假设b与K中某个元素乘法不可交换，那么由上讨论，它和Sa中某元素，不妨设为a，乘法不可交换因此由引理2.2.1,bEK，这与b的选取矛盾！(2)假设K中任何两个元素乘法可交换.任取yEK，EH.如果zK，则由（1)知，y=·y.如果zEK,则由假设亦知y,乘法可交换.因此yEC(H)，从而KC(H),矛盾！-定理2.2.1的证明：我们相当于要证K=H.不妨假设K≠H，即存在元素rEHK.首先由引理2.2.2(2)，可找到两个元素bi,b2EK，使得bi·b2≠b2b1.因为z，·b1史K，故由引理2.2.2（1），它们和K中元素乘法可交换.这样，我们有(b1).b2=b2-(a.b1)=(b2-a).b1=(r-b2).b1-在上式两端左乘-1,即得b1+b2=b2+b1，矛盾！我们这里介绍一个和除环有关的著名结论定理2.2.2（Wedderburn小定理）有限除环必定是域它有一个简洁优美的初等证明（由ErnstWitt于1931年给出)限于本书的篇幅，我们不再详细介绍，而是将它放在习题2.12至习题2.15中关于除环的其他性质，我们也不再详细介绍了，有兴趣的读者可以参看HW10，第一章，s9－s11].我们将其中一部分内容留作习题供读者练习.2.3整环与交换么环在研究了体之后，我们希望了解其他的代数对象，比如前面所提到的整数环等等，很多熟知的代数对象都满足乘法交换律，但一般没有乘法逆元.相对而言，有乘法交换律的代数对象往往比没有交换律的对象有更好的性质（回想一下四元数体和数域的比较，或者数域和矩阵环的比较），因此我们现在把研究自光放在有乘法交换律的代数对象上，-21-