第十六章含参变量的积分本章仍然讨论积分，其中被积函数含有额外的参数，我们要研究积分是如何依赖于参数的.这种积分的基本性质和无穷级数的性质十分类似，它们也提供了构造新函数的重要工具，我们还将利用它们进一步研究Fourier积分816.1含参变量的积分设f(,y)是定义在矩形[a,b] ×[c,d]上的函数,且对于每个固定的yE[c,d],关于a的函数f(a,y)在[a,b]上Riemann可积，则定义I(y) =f(r,y)dr,ye[c,d]称为含参变量的积分，其中y是参数，它对应于数列或函数列中的变数n.当f(,3)为[a,b]×[c,d]中的连续函数时，根据$13.3节中的讨论,有[ I(u)dy = / / f(r,v)drdy = )f(r,y)dydr.(16.1)引理16.1.1.设f(,y)在[a,]×[c,d]中连续，则I()关于ye[c,d]连续证明.有界闭集中的连续函数是一致连续的。因此，任给ε>0,存在8>0,当1,J2[c,d] 且 ly1-y2l <8时If(a,yi) - f(a, y2)/ ≤e, VrE[a,b].此时[(1) - (32)] =| / [5(r,1) -f(±,92)]d|If(r, y1) -f(ar, y2)/dr≤ (b-a)e.口这说明I(y)关于y连续.定理 16.1.2.设f(a,y)和偏导数 fy(r,y)在[a,b]×[c,d] 中连续，则 I(y)关于y可导，且I'(y) :fu(a,y)dr证明.记b(y) =fy(r,y)da, ye[c,d].169
第十六章 含参变量的积分 本章仍然讨论积分, 其中被积函数含有额外的参数, 我们要研究积分是如何依 赖于参数的. 这种积分的基本性质和无穷级数的性质十分类似, 它们也提供了构造 新函数的重要工具, 我们还将利用它们进一步研究 Fourier 积分. §16.1 含参变量的积分 设 f(x, y) 是定义在矩形 [a, b] × [c, d] 上的函数, 且对于每个固定的 y ∈ [c, d], 关于 x 的函数 f(x, y) 在 [a, b] 上 Riemann 可积, 则定义 I(y) = ∫ b a f(x, y)dx, y ∈ [c, d], 称为含参变量的积分, 其中 y 是参数, 它对应于数列或函数列中的变数 n. 当 f(x, y) 为 [a, b] × [c, d] 中的连续函数时, 根据 §13.3 节中的讨论, 有 ∫ d c I(y)dy = ∫ d c ∫ b a f(x, y)dxdy = ∫ b a ∫ d c f(x, y)dydx. (16.1) 引理 16.1.1. 设 f(x, y) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y) 关于 y ∈ [c, d] 连续. 证明. 有界闭集中的连续函数是一致连续的. 因此, 任给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 y1, y2 ∈ [c, d] 且 |y1 − y2| < δ 时 |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ ε, ∀ x ∈ [a, b]. 此时 |I(y1) − I(y2)| = ∫ b a [f(x, y1) − f(x, y2)]dx ≤ ∫ b a |f(x, y1) − f(x, y2)|dx ≤ (b − a)ε. 这说明 I(y) 关于 y 连续. 定理 16.1.2. 设 f(x, y) 和偏导数 fy(x, y) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y) 关 于 y 可导, 且 I 0 (y) = ∫ b a fy(x, y)dx. 证明. 记 ψ(y) = ∫ b a fy(x, y)dx, y ∈ [c, d]. 169
170第十六章含参变量的积分根据题设和刚才的引理，b(y）关于y连续.当1,2E[c,d时，利用积分次序的可交换性，得"(u)dy = /" "f(a,u)drdy=fy(a,y)dyda/ (f(r,y2) - f(r, y1)]dr= I(y2) - I(y1).口这说明I'(y)=(y)例16.1.1.（*)设于为具有紧支集的光滑函数，9连续.定义函数h为h(r) =f(r -y)g(y)dy,则h为光滑函数，且f(n)(r - y)g(y)dyh(n)(r) =证明.设f在区间（-M,M)以外为零.任取a>0,当E[-a,al时,h(a)可以表示为h(z) =f(r-y)g(y)dy反复利用上述定理即知h(a)在（-a,a)中任意次可导，且f(n)(r - y)g(y)dy =h(n)() f(n)(ar -y)g(y)dy,口由于a>0是任取的，故h在（-0,o）中光滑注.f可以取为鼓包函数，此时h可以看成函数g的光滑逼近例16.1.2.设0<a≤b,计算积分lrb-ra-daL-Inz解.我们把α看成是常数，而把b看成是参数，积分记为I(b)，则根据上述定理,有1I'(6) =r'dr6+1这说明I(b) = In(1 + b) + C.又因为I(a)=0,故C=-ln(1+a)从而1+bI = ln i+a这个积分也可以通过重积分化累次积分来计算口
170 第十六章 含参变量的积分 根据题设和刚才的引理, ψ(y) 关于 y 连续. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 利用积分次序的可 交换性, 得 ∫ y2 y1 ψ(y)dy = ∫ y2 y1 ∫ b a fy(x, y)dxdy = ∫ b a ∫ y2 y1 fy(x, y)dydx = ∫ b a [fy(x, y2) − f(x, y1)]dx = I(y2) − I(y1). 这说明 I 0 (y) = ψ(y). 例 16.1.1. (∗) 设 f 为具有紧支集的光滑函数, g 连续. 定义函数 h 为 h(x) = ∫ ∞ −∞ f(x − y)g(y)dy, 则 h 为光滑函数, 且 h (n) (x) = ∫ ∞ −∞ f (n) (x − y)g(y)dy. 证明. 设 f 在区间 (−M, M) 以外为零. 任取 a > 0, 当 x ∈ [−a, a] 时, h(x) 可 以表示为 h(x) = ∫ M+a −M−a f(x − y)g(y)dy, 反复利用上述定理即知 h(x) 在 (−a, a) 中任意次可导, 且 h (n) (x) = ∫ M+a −M−a f (n) (x − y)g(y)dy = ∫ ∞ −∞ f (n) (x − y)g(y)dy, 由于 a > 0 是任取的, 故 h 在 (−∞, ∞) 中光滑. 注. f 可以取为鼓包函数, 此时 h 可以看成函数 g 的光滑逼近. 例 16.1.2. 设 0 < a ≤ b, 计算积分 I = ∫ 1 0 x b − x a ln x dx. 解. 我们把 a 看成是常数, 而把 b 看成是参数, 积分记为 I(b), 则根据上述定 理, 有 I 0 (b) = ∫ 1 0 x b dx = 1 b + 1 , 这说明 I(b) = ln(1 + b) + C. 又因为 I(a) = 0, 故 C = − ln(1 + a), 从而 I = ln 1 + b 1 + a . 这个积分也可以通过重积分化累次积分来计算.
916.1含参变量的积分171例16.1.3.设[闪<1,计算积分I=In(1 + Acosr)dr.解.设0<a<1,当>[-a,a] 时, f(r,)=ln(1+cosa)以及cOSrfa(z, >) = 1 + >cos r在[0,]×[-a,a]中连续，于是I=I()关于>可导，且cosrATda=I'(u) =1 + >cos zV-对入积分可得I() = ln(1 + V1- 12) + C,因为I(0)=0,故得C=一ln2,因此1+V1-xI = 元ln2口上式对任意//<1均成立.下面我们讨论积分的上下限中也含有参数的含参变量积分，考虑积分rb(y)F(y):f(r,y)dr,Ja(y)其中 a(y),b(y)是关于 y的函数定理16.1.3.设f(t,)在[a,b]×[c,d]中连续，函数a(y),b(y)关于y连续,且a<a(y)<b,a<b(y)<b,Vye[c,d则F(y)是[c,d)中的连续函数.证明.任取yoE[c,d]，则当ye[c,d]时，有rb(y)b(yo)f(r,y)dr .F(y) -F(yo) :f(r,yo)drJa(y)Ja(yo)rb(y)rb(yo)ra(yo)f(r,y)dr +f(r,y)da +[f(r,y) - f(a,yo)]dr.(30)(y)(yo)因为于连续，故存在M>0,使得If(a,y)I≤M.由上式和已知条件得[F(y) - F(yo)/≤M[a(y) -a(yo)/ + M[b(y) - b(yo)+supf(z,y)-f(,o)/b-a,re[a,b]
§16.1 含参变量的积分 171 例 16.1.3. 设 |λ| < 1, 计算积分 I = ∫ π 0 ln(1 + λ cos x)dx. 解. 设 0 < a < 1, 当 λ ∈ [−a, a] 时, f(x, λ) = ln(1 + λ cos x) 以及 fλ(x, λ) = cos x 1 + λ cos x 在 [0, π] × [−a, a] 中连续, 于是 I = I(λ) 关于 λ 可导, 且 I 0 (λ) = ∫ π 0 cos x 1 + λ cos x dx = π λ − π λ √ 1 − λ2 . 对 λ 积分可得 I(λ) = π ln(1 + √ 1 − λ2) + C, 因为 I(0) = 0, 故得 C = −π ln 2, 因此 I = π ln 1 + √ 1 − λ2 2 . 上式对任意 |λ| < 1 均成立. 下面我们讨论积分的上下限中也含有参数的含参变量积分. 考虑积分 F(y) = ∫ b(y) a(y) f(x, y)dx, 其中 a(y), b(y) 是关于 y 的函数. 定理 16.1.3. 设 f(x, y) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 函数 a(y), b(y) 关于 y 连续, 且 a ≤ a(y) ≤ b, a ≤ b(y) ≤ b, ∀ y ∈ [c, d], 则 F(y) 是 [c, d] 中的连续函数. 证明. 任取 y0 ∈ [c, d], 则当 y ∈ [c, d] 时, 有 F(y) − F(y0) = ∫ b(y) a(y) f(x, y)dx − ∫ b(y0) a(y0) f(x, y0)dx = ∫ a(y0) a(y) f(x, y)dx + ∫ b(y) b(y0) f(x, y)dx + ∫ b(y0) a(y0) [f(x, y) − f(x, y0)]dx. 因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f(x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F(y) − F(y0)| ≤ M|a(y) − a(y0)| + M|b(y) − b(y0)| + sup x∈[a,b] |f(x, y) − f(x, y0)||b − a|,
172第十六章含参变量的积分口由 a(y), b(y)以及 f(z,y)的(一致)连续性即知 F(y)在 y=yo处连续.关于F(3)的可导性，我们有定理16.1.4.设f(z,y)以及fy(r,y)均在[a,b]x[c,d] 中连续,如果a(y),b(y)关于y可导，则F(y)关于y可导，且rb(y)F(y) =fy(r,y)da+f(b(y),y)b(y)-f(a(y),y)a'(y)a(y)口证明证明留作练习。例16.1.4.设a≥0,计算积分In(1 + ar)I(a) :11 + r2解.利用上面的定理，得In(1 + a2)cI'(a) =1 + α2(1 + ar)(1 + r?aln(1 + α2)5arctana+1 + α22(1 + α2)关于a积分，得In(1 + α2)I(a) = arctana +C.2因为I(0)=0,故C=0.最后就得到In(1 + a2)1(a) = arctana.2习题16.11.计算下列积分 arctan(atan)d (a ≥0),In(1 - 2a cos +a)da; (2)(1)tana2.计算下列积分1+acosr dr-r-r(la|<1); (2)dr(b>a>0)(1)sin(InIn1-aCOscOsTInrJo103.设α>1,计算积分In(α? sin? r)dr.S
172 第十六章 含参变量的积分 由 a(y), b(y) 以及 f(x, y) 的 (一致) 连续性即知 F(y) 在 y = y0 处连续. 关于 F(y) 的可导性, 我们有 定理 16.1.4. 设 f(x, y) 以及 fy(x, y) 均在 [a, b]×[c, d] 中连续, 如果 a(y), b(y) 关于 y 可导, 则 F(y) 关于 y 可导, 且 F 0 (y) = ∫ b(y) a(y) fy(x, y)dx + f(b(y), y)b 0 (y) − f(a(y), y)a 0 (y). 证明. 证明留作练习. 例 16.1.4. 设 a ≥ 0, 计算积分 I(a) = ∫ a 0 ln(1 + ax) 1 + x 2 dx. 解. 利用上面的定理, 得 I 0 (a) = ln(1 + a 2 ) 1 + a 2 + ∫ a 0 x (1 + ax)(1 + x 2) dx = a 1 + a 2 arctan a + ln(1 + a 2 ) 2(1 + a 2) . 关于 a 积分, 得 I(a) = ln(1 + a 2 ) 2 arctan a + C. 因为 I(0) = 0, 故 C = 0. 最后就得到 I(a) = ln(1 + a 2 ) 2 arctan a. 习题 16.1 1. 计算下列积分 (1) ∫ π 0 ln(1 − 2a cos x + a 2 )dx; (2) ∫ π 2 0 arctan(a tan x) tan x dx (a ≥ 0). 2. 计算下列积分 (1) ∫ π 2 0 ln 1 + a cos x 1 − a cos x dx cos x (|a| < 1); (2) ∫ 1 0 sin ( ln 1 x )x b − x a ln x dx (b > a > 0). 3. 设 α > 1, 计算积分 I = ∫ π 2 0 ln(α 2 − sin2 x)dx.
16.1含参变量的积分1734.设f(,y)在[a,b] ×[c,d] 中连续,则积分I(α, βB, y) =f(r,y)dr, a,βe[a,b], ye[c,d是关于α,β,y的连续函数，且关于α,β可导5.利用上题给出本节最后定理的证明6.证明n阶Bessel函数Jn(r) =cos(ngp - sin g)dpTJo满足Bessel方程? J'() +rJ(r) +(r? -n2)Jn(μ) = 0.7.定义函数[y(1-a), y≤a,K(r,y) =r(1-y), y>a如果f()为[0,1] 上的连续函数,则函数u(r) =K(r,y)f(y)dy满足方程-u"(μ) = f(μ), u(0) = u(1) = 0.8.设f()在=0附近连续，则函数1(r-t)n-1f(t)dtu(r) (n - 1)) Jo满足方程u(n)(μ) = f(), u(0) = u(0) =.= u(n-1)(0) = 0.9.设4，分别为2次可导和1次可导的函数，证明函数ratau(r,t) =o(at)+(+at)+Jb(s)ds满足弦振动方程o2u0202u0t2=0r2
§16.1 含参变量的积分 173 4. 设 f(x, y) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则积分 I(α, β, y) = ∫ β α f(x, y)dx, α, β ∈ [a, b], y ∈ [c, d] 是关于 α, β, y 的连续函数, 且关于 α, β 可导. 5. 利用上题给出本节最后定理的证明. 6. 证明 n 阶 Bessel 函数 Jn(x) = 1 π ∫ π 0 cos(nϕ − x sin ϕ)dϕ 满足 Bessel 方程 x 2J 00 n (x) + xJ0 n (x) + (x 2 − n 2 )Jn(x) = 0. 7. 定义函数 K(x, y) = y(1 − x), y ≤ x, x(1 − y), y > x. 如果 f(x) 为 [0, 1] 上的连续函数, 则函数 u(x) = ∫ 1 0 K(x, y)f(y)dy 满足方程 −u 00(x) = f(x), u(0) = u(1) = 0. 8. 设 f(x) 在 x = 0 附近连续, 则函数 u(x) = 1 (n − 1)! ∫ x 0 (x − t) n−1 f(t)dt 满足方程 u (n) (x) = f(x), u(0) = u 0 (0) = · · · = u (n−1)(0) = 0. 9. 设 ϕ, ψ 分别为 2 次可导和 1 次可导的函数, 证明函数 u(x, t) = 1 2 [ϕ(x − at) + ϕ(x + at)] + 1 2a ∫ x+at x−at ψ(s)ds 满足弦振动方程 ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2