第一章域的基础知识1.7补充材料：代数闭域解方程有两个中心问题：(1）方程在给定的数域内是否存在解？有多少解？(2)能否精确给出方程的公式解？对复系数多项式f(r) =an+an-ian-l +.*++air+ao,aiE C,高斯证明了如下基本结论：定理1.7.1（高斯代数学基本定理）复系数方程f(c）=0在复数域内恰有n个复数根（重根重复计算）这个定理有许多不同的证明，但是任何一类证明都不可能是纯代数的。也就是说，代数学基本定理的证明中总是不可避免地包含一部分几何性质的运用（我们把复数域看成复平面这类几何对象），事实上这个定理反映的本质是几何的，尽管表面叙述上看是代数的代数学基本定理也可以等价叙述为推论1.7.1复系数多项式f(r)必可分解为复数域上一次多项式乘积f()=(a-ai)(a-α2)(r-αn),aiEC我们可以从代数学基本定理中提取出代数的信息，引入如下概念定义1.7.1如果一个域k满足以下性质，就称之为代数闭域（Algebraicallyclosed field)：对任何系数取自于域k的多项式f(a)=an +an-1an-1 +...+a1a+ao, ag E k,总是可以分解为一次因式的乘积f(a)=(a-α)(x-α2).(-an),aEk代数学基本定理相当于说复数域是代数闭域一个重要的结论说，任何域k都是某个代数闭域的子域.因此从这个意义上讲，任何多项式方程在扩大域的范围后总是可以求根.另外请注意，上面这个结论的证明是代数的，但是它在数域情形不能推出所得到的代数闭域就是复数域也不能用它证明复数域是代数闭域解方程的第二个中心问题也同样需要我们研究如何在扩域中求根的问题，并且需要讨论这样的扩域之间的各种同构等等，由此引出了扩域论和伽罗华理论.我们将在下册深入探讨这些理论.此处不再详细展开了，本章习题加*号的习题表示有一定难度习题1.1证明：除了复数域外，不存在严格包含实数域的数域-12 -
第一章域的基础知识习题1.22验证模N的剩余系上的加法和乘法不依赖于剩余类的代表元选取习题1.3给定非空集合X，设是X的幂集，即全体子集构成的集族.试逐一检验(Z,n,U是否满足域的11条性质（Ao一A4)，（Mo-M4)及（AM).习题1.4在有理数域上定义新的运算a@b=a+b-l,a*b=a+b-ab试问：有理数域在上述两种运算下是否构成域？习题1.5设F是域，a.bEF,n,mEZ.证明：(1) n(a+b)= na+nb及 (n+m)a=na+ma,(2) n(ma) = (nm)a及 n(a.b) =(na) -b=a. (nb)(3)an+m=an.am, (an)m=anm及(a-b)n =an.bn习题1.6考虑集合Q(V2, V3) = [a+bV2 + cV3 + dv6 / a, b,c, d e Q)验证它是一个数域，并证明Q(V2,V3)=Q(V2+V3)习题1.7证明：Q(1+V-1)=Q(4-V-1)习题1.8证明：Q(Vd)=Q(Vd）的充分必要条件是存在非零有理数c,使得d=cd习题1.9设F是域，aEF是非零元.证明：如果a≠1,-1,那么a≠a-1习题1.10设F是域，E是F的非空子集，且至少含两个元素，证明：E是F的子域当且仅当如下条件成立：对任何a,b,cEE，且c十0,都有(a-b)·c-1EE.习题 1.11验证如下结论：α：E→F是域同构当且仅当α既是单同态也是满同态习题1.12证明或否定如下叙述：Q(V③）与Q（V3）作为域是同构的习题 1.13设6是n次代数数，证明：存在从Q(①)到二次扩域Q(Vd)的非平凡域同态的充分必要条件是EQ(Va).习题1.14(*)设9,是代数数，你能否给出（①）与@0）同构的充分必要条件？试着证明你的结论，习题1.15假设Fi,F2是两个域，E1,E2分别是它们的素域.设α：F1一→F2是非平凡同态：证明：诱导了素间的同构α：E1→E2.特别地，当Fi=F2时，α：E1→E2是恒同映射.习题1.16考虑域Fp上的有理函数域F（a）之间的Frobenius同态Fr : Fp(r) → Fp(a).证明:Fr(f(r)=f(arP).习题1.17（*）证明：实数域R到自身的非零同态只有恒同映射（提示：证明这样的同态是保序映射)-13-
第二章环的基础知识第二章王环的基础知识2.1一些非域的经典例子上一节我们研究了代数对象（即具有代数运算的集合）中最特殊的一类：域，它有两种运算，且满足11条基本的运算公理（A0－A4)，（MO－M4)及（AM).在我们曾经学过的各种代数对象中，有很多却并非是域-尽管它们有两种运算.在我们开始这一章之前，先来回顾一下这些熟悉的例子.例2.1.1（整数环）设Z是所有整数的全体.它有通常的加法和乘法运算，且有零元0和么元1.对Z中任何不等于±1的非零整数，都不可能存在乘法逆元.因此它不满足公理（M4).除此之外，它满足其他所有公理顺便提一下，初等数论的很多不定方程求都关心整数解，求方程的整数解往往是非常困难的问题.-例2.1.2（多项式环）设R[a]是所有实系数多项式构成的集合（类似地，可以考虑Q[a],Cl等等】Q[]={flf=ao+aiz+...+anz",诸aieIR，n是非负整数].它有通常的多项式加法和乘法运算，且有零元0和么元1.和整数环一样，除了非零常数外，任何-多项式都没有乘法逆元.因而它不满足公理（M4)，但满足其他所有公理例2.1.3（矩阵环）考虑数域F上n阶方阵全体构成的集合a1101rMn(F) :=aijEF..(anl......ann)它有通常的矩阵加法和乘法，其零元是零矩阵，幺元是单位矩阵，它不仅不满足乘法逆元的存在-性公理（M4)，也不满足乘法的交换律（M2).其他公理仍然成立，例2.1.4（线性变换）考虑数域F上的n维线性空间V.V上的线性变换f是指V到自身的线性映射f：V→V.即满足f(hii+k2v2)=kif(vi)+k2f(v2),Vki,k2EF,Vu1,U2EV.所有线性变换的全体组成的集合记为Endn(V).它有加法运算f +g : VV, u-→(f +g)(u) := f(u) +g(u).以及复合运算（我们将它视作一种”乘法”运算）(f :g) : V V, -→ (f -g)(u) := f(g(v)零映射显然是加法零元，恒同映射则是乘法么元.与上例类似，一般的线性变换都没有乘法逆元除非是线性同构)，此外，它也不满足乘法交换律，-14-
第二章环的基础知识实际上，由高等代数的经典讨论可以知道，在选定V的一组基后，矩阵环Mn(F)和End(V)之间可以建立一一对应，这种对应可以保持加法和乘法的兼容性（今后我们会用”同构”这一术语-来描述这样的对应例2.1.5（模N剩余类环）回顾例1.3.4中所定义的模N的完全剩余系ZN = ([o], [1],. , [N-1]]这里[n] = n + Nk [ e Z]是所代表的剩余类，它是由同余关系n～mn 和m被N除的余数相同"二"是整数.N所定义的等价类我们曾定义加法和乘法[n] +[m] := [n +m], [n] [m] := [n m].它们满足结合律、交换律和分配律，且零元和幺元分别为[0]，[1].我们已经证明，如果N不是素数，那么Z中必有某个非零元素没有乘法逆元.比如Z6中的[2],[3],[4]都没有乘法逆元。例2.1.6（无幺元）全体偶数组成的集合2Z有通常的加法和乘法，它们满足交换律、结合律和分配律.尽管2Z么有加法零元和逆元，但是却没有乘法么元和逆元，■例2.1.7（非结合律）考虑三维实向量空间V.V中的向量有通常的向量加法和叉秉运算(CrossProduct).但令人遗憾的是，叉乘运算不满足结合律.不过它满足以下的雅可比恒等式ux(uxw)+x(wxu)+wx(uxw)=0还有很多例子都不能满足域的全部公理，我们会在后面逐一介绍它们，并将这些例子提炼成更一般的抽象概念2.2除环（体）人们对数系的认识从有理数域到实数域，最终发现了复数域.这种认识发展和解方程有着密切的关系-通过方程的求根来扩充数系，一个自然的问题是，我们能否构造出比复数域更大的数域？也就是引进所谓的”超复数”，根据前面提及的高斯代数学基本定理，通过方程求根的经典方法来寻找”超复数”已经是不可能了人们转而从其他角度来思考这个问题。比如将复数域看作二维向量空间，复数看作其中的向量，那么”超复数”是否可以类似推广为高维向量呢？这其实就是三维及高维向量空间分析的历史源头：正如前面所看到的，三维向量空间中很难定义一个好的乘法让它满足那些公理（比如叉乘不满足结合律和交换律，更没有么元和乘法逆元的概念）.数学家哈密顿（Hamilton）在对这个问题经过长时间思考之后，终于意识到一件重要的事情：如果我们要扩充复数域的话，那么必须放弃乘法交换律！他于1843年发现了著名的四元数体，这一发现在数学史上具有划时代意义.因为它将代数学从传统算术中解放出来，让人们意识到创建各种代数体系未必需要拘泥于域的全部运算公理。一旦摆脱了这一思维伽锁，近代的代数学才真正开始发展起来，-15-
第二章环的基础知识2.2.1哈密顿四元数体下面我们来介绍哈密顿四元数体（Hamiltonianquaternions）考虑如下类型的2阶复系数矩阵全体构成的集合αB-sa)a,Bec)H:=这里表示的共轭复数.H显然是复矩阵环M2(C)的子集.任取B=4=在矩阵的通常加法和乘法下，我们有Q+β+8-+EHA+B-A.BE H,-+oa++因此H满足加法和乘法的封闭性，即公理（AO)和（MO)：此外H显然包含零阵和单位阵作为零元和么元，即满足公理（A3)和（M3).假设A非零阵.注意到行列式det(A）=|α2+|3|2>0我们有1a-β-6AE H.EH,43[/2+13/23这就证明了公理（A4)和（M4).至于结合律（A1)(M1)和分配律（AM）都是显然的H虽然满足加法交换律（A2)，但是却不满足乘法交换律！这是它和域的唯一差别，H中有四个特殊的元素，我们用以下的黑体记号表示10V-1i=1=让k0 -V-101-10/-1由定义，H中任何元素都能写为al+bi+cj+dk的形式；反之这样形式的元素也必落在A中定义 2.2.1我们将上述（H，+，）称为哈密顿四元数体，H中的元素称为四元数如上所说，H可以看作是实数域上的4维向量空间，它有一组基1,i,j,k.它们之间的乘法满足如下规则：(1)i.i=j-j=k·k=-1及1.l=l.(2)ij=-ji=k,j·k=-kj=i及k.i=-ik=j.(3)1.i=i.1=i,1-j=j.1=j及k.1=1.k=k(4)i·j·k=-1.为方便记忆，我们列成如下的乘法表K1ijik11jii-1k-j-k-1jjkkj-i-1-16-