第二章环的基础知识2.3.1定义定义2.3.1设R是至少含两个元素的集合，并有加法“+”和“”乘法两种运算，假设R除了乘法逆元存在性公理（M4)外，满足其他所有公理（即（A0-A4)，(M0-M3)，（AM))，则称R是交换么环（Commutativering）乘法逆元存在性公理是保证除法运算的，交换么环失去了这条公理，很多域上的性质就不再能保留下来.比如有理数域上的线性方程a=b总是有解，但是在整数环上，这个方程则未必有解初等数论的整除概念以及整除理论也就是由此引出的我们希望用一些其他公理替代公理（M4)，尽量弥补公理（M4）缺损所带来的损失.让我们回顾域上的一条性质：乘法)消去律：设a,bcER,c≠0.如果ac=bc,则a=b当公理(M4)成立时，上述消去律很容易得到。但是在交换么环中，消去律未必存在因此我们可以先考察如下类型的交换么环定义2.3.2如果交换么环R满足消去律，那么我们称R为整环(Domain)注2.3.1上面的乘法交换律也称为右消去律.同样也有左消去律，即由ca=cb推知a=b但由于在交换么环中乘法满足交换律，因此左消去律和右消去律没有差别，所以我们不再强-调“左”和“右”了。今后我们会定义更一般的环，为读者方便，我们这里也罗列一下这些概念，后面我们再考察这样的对象.这一章节主要关心整环和交换么环：定义2.3.3如果R是非空集合，并有加法“+”和"”乘法两种运算，满足公理(A0-A4)，(MO,M1)，（AM)，我们就称R为环，进一步，如果一个环R有么元（即满足公理（M3)），则称么环.容易看到域C整环C交换么环C么环C环我们也可以定义环同态和环同构的概念定义2.3.4设α：R一→R是环之间的映射，如果它满足以下诸条件，则称之为环同态：(1) a(r +y) =a(r) +a(y), Vr,y e R(2) a(r -y) = (r) -o(y), Vr, y E R进一步，如果是单射（满射)，我们就说它是单同态（满同态)：如果存在同态T：R一→R使得aT=IdR及To=IdR，则称α为同构，T=α-I为逆映射，有时简记该同构为R兰R'.环R到自身的同构简称为自同构2.3.2例子我们先回顾几个经典的例子例2.3.1(1)如上所说，所有的域都是整环(2)整数环(Z,+，-）是整环.(3)有理系数多项式环Q[]（类似地，R[a],C[])是整环-22 -
第二章环的基础知识下面介绍一个重要的环，它在代数数论中具有重要的意义例2.3.2(高斯整数环)ZV-1] = (a+bV-1| a,beZ)我们来验证它在通常加法和乘法下构成整环.首先，0,1Z[V-1]是显然的.加法和乘法的封闭性以及加法的逆元存在性可以从下式直接看出来：(a+bV-1)+(c+dV-1)= (a+c)+ (b+d)-1(a+ bV-1) (c+dV-1) = (ac-bd) + (bc +ad)v-1,-(a +bV-1) = (-a) +(-b)v-1.-注意到ZV-1]CQ[V-1l,所以它自然满足加法和乘法的结合律、交换律、分配律和消去律类似地，也可以定义如下整环，设d是不含平方因子的整数ZVa=(a+bVala,beZ).例2.3.3（模N的剩余类环）设Z同例2.1.5.它是交换环，并且当N是素数时，它也是域.如果N不是素数，我们来证明Zv不是整环假设N=n1n2，其中n1,n2>1.注意到[ni]≠[0],但是[n1] - [n2] = [0] = [0] [n2] 这说明消去律不成立-例2.3.4（对角矩阵)设F是数域，考虑矩阵环MnF）（见例2.1.3)中的子集合，即所有对角阵全体aia2R :EMn(F)aiEF,i=l,.,nan/R的零元是零阵，幺元是单位阵.容易验证R是交换幺环（尽管矩阵环M（F)不满足乘法交换）但当n>1时.R不是整环.比如取70第i行E; =0当i≠j时，我们有E·E；=0·E，但Ei≠E.因此不满足乘法消去律.这个环其实可以看作-数域F上的n维向量空间本节最后，我们举几个例子简要说明交换幺环的同态一般不满足命题2.2.1的诸性质：我们将环同态性质放到后面再详细探讨- 23-
第二章环的基础知识例2.3.5(同余映射)a:Z→ZN n-[n]-它不是单同态，比如α(O)=α(N）=[0].这也说明非零元的像可能为零元例2.3.6考虑例2.3.4的定义在数域F上的对角矩阵环R.我们有环同态a0o:FR, a-.0-虽然它是单同态，但α（1F）却不是R的么元2.3.3基本性质我们来考察一下，除环的基本性质（命题2.2.1)中还有哪些可以在交换么环或整环中保留下来，哪些不再成立，命题2.3.1设R是交换么环，我们有如下性质：(1)零元和么元都是唯一的，每个非零元的加法（乘法)逆元也是唯一的(2)对任何aER,都有0.a=a·0=0.(3)对任何aER,都有(-1)·a=a·(-1)=-a(4)对任何a,bER,都有（-a)·b=a·(-b)==-(ab)(5) 0≠1以及-0=0, 1-1=1和(-1)-1=-1.无论如何交换么环未必满足命题2.2.1中的无零因子性和消去律，下面我们要证明这两条性质其实是等价的为此我们给出如下定义定义2.3.5设R是交换么环，a,bER是非零元满足a-b=0,那么我们称a,b为R的零因子 (Zero divisor).注2.3.2严格地说，上述定义中，a称为左零因子，6称为右零因子.但是在交换么环中，乘■法满足交换律，因此我们不再区分左右的限制，例2.3.7(1)整数环Z和有理系数多项式环Q[a](类似地，R[a],C[al)都没有零因子.(2)模N的剩余类环在N不是素数时必有零因子.此时设N=n1n2，n1,n2>1,则[n] [n2] =[0],[ni] ±[0]从而[ni],[n2]都是零因子。-(3）例2.3.4的对角阵构成的交换么环中，E，都是零因子命题2.3.2R是整环当且仅当R是无零因子的交换么环证明月（一→）已知R是整环，我们证明R不含零因子不妨假设存在零因子a,b使得a·b=0.因此我们有0=a.b=a.b-0.b-24-
第二章环的基础知识因而a·b=0·b.因此由消去律以及b0推得a=0,矛盾！故R没有零因子（-）已知交换么环R不含零因子，我们来证它是整环，即满足消去律假设a·c=b·c(c≠0)，则得(a-b)·c=a-c-b-c=0由于R无零因子且c≠0.所以a-b=0.即a=b类似除环中的Wedderburn小定理，我们也有如下关于整环的结论命题2.3.3有限整环必是域证明月设R=[ai,a2,，an}是有限整环，a1=1,我们只需要证明R中每个非零元都有逆元.对任何非零元aER，我们先说明aai,aa2,.,aan两两不同.假设aai=aaj，我们用消去律得到ai=aj，即i=j.因此诸aai不重复地跑遍R中所有元素.这样，存在某个ai，使得aai=1.这就说明每个非零元都有乘法逆元，因而R是域-推论2.3.1（推广的费马小定理）设R是有限整环，那么对任何非零元aER都有an-11,这里n是R中元素个数证明月采用命题2.3.3的证明中的所有记号与假设.不妨设a=0.现在我们有相同的集合[ai,a2,..,an-] =R| [0] = [aa1,aa2,..,aan-1]因此I a = I(aa) = an-1 II aii=1=1i=1因为ai≠0（i=1,，n－1)，且R是整环，所以ai.··an-1≠0.对上面的等式应用消去律，即■得an-1=1在上述推论中取模素数p的剩余类域R=Fp，即得费马小定理[aP-1]=[1]2.3.4构造方法(1)：子么环以下几节，我们尝试从各种不同的途径来构造交换么环和整环模仿子域的概念，我们也可以定义环中的子环，定义2.3.6设R是环，L是R的非空子集，如果L在R的运算下也构成环，我们就称其为R的子环.如果R是么环，并且L是包含1R的子环，则称L是R的子么环注2.3.3（1）交换么环的子么环直接继承了乘法交换性(2)子么环定义中的条件“L包含单位元1R”非常重要.我们下面的例子表明，一个交换么环R■的子环L可以是幺环，但是其幺元1L≠1R，因而不是子么环.-25-
第二章环的基础知识例2.3.8 (非子幺环)考虑例2.3.4的2阶对角阵构成的交换么环) e M2(F)|a,be F以及它的子集合) eM(F)EF可以验证R与L都是交换么环，它们的单位元分别是IR因此L只是R的子环，而不是子么环注2.3.4在除环中，我们没有强调子除环和除环本身的么元一致，这是因为该情形下很容易利用乘法逆元存在性证明这件事。假设ECF是除环F的子除环.因为1E也是F中的非零元，所以IF=lE·1=(1E·1E)·1F=lE-(IE·)=lE·IF=lE.例 2.3.9 (1)ZCQ是Q的子么环(2)ZZV是z[V的子么环(3)) e Ma(Q) a,beQ有子么环b) e Ma(Q) a.be z)我们留给读者验证类似子域的判定条件，我们也可以给出子环的判定条件，命题2.3.4设R是环，L是R的非空子集，则L是R的子环的充分必要条件为：对任何a,bEL,总有(1) a- be L(2) a·be L特别地，如果R是么环，并且L包含1R，那么L是R的子么环当且仅当它满足上述两个条件.证明类似命题1.5.1的证明.但请注意，此处的条件（2）是乘法封闭性条件，而不是命题-1.5.1中的除法封闭性条件(此时没有除法的概念).命题2.3.5整环的子么环必为整环.特别地，域中的子幺环总是整环。证明因为消去律在原来的整环中已经成立，因而在子么环中自然成立- 26-