第一章域的基础知识1.5子域和特征前面看到，复数域C中包含了很多数域（R，Q.).这就引出了子域的概念定义1.5.1假设F是一个域，EF是一个包含0,1的非空子集，如果E在F的加法和乘法下也构成一个域，则称E是F的子域(Subfield)，F称为E的扩域（Extensionfield)例1.5.1(1)任何数域都是复数域C的子域.(2)域k是有理函数域k(a)的子域(3)有理数域Q是二次扩域Q(V@)的子域.更一般地，对任何代数数，Q是Q(①)的子域，后者■是Q的扩域，并且能看成Q上的有限维向量空间，命题1.5.1（子域的判定方法）设F是一个域，ECF是一个包含至少两个元素的非空子集那么E是F的子域当且仅当以下诸性质成立：(1)对任何a,bEE,都有a-bEE,(2)对任何非零元a,bEE,都有a·b-1eE.证明(一)结论显然,（一）已知上述性质都成立，我们来证明E是F的子域，由假设条件，E至少含有一个非零元，比如u.因此0=u-uEE，1=u·u-1EE，这就证明了性质（A3，M3).任取E中的非零元a,b我们得到-α=0-aEE以及a-1=1·α-1EE,即性质（A4，M4)成立.现在我们可得运算封闭性（Ao，Mo)：a+b=a--b)E，a·b=a(6-l)-leE(若b0)■其余诸性质都是显然的，不再赞述命题1.5.2给定域F(1)任意多个子域的交也是F的子域(2)给定子集SCF，所有包含S的子域的交是包含S的最小子域，称作由S生成的子域(3)由单位元1生成的子域是唯一的最小子域(称作素域,Primefiled)证明(1)设Eα(αEI)都是F的子域，E=nEα：我们用命题1.5.1的判定方法来证明E是子域.对任何元素a,bEE，由E的定义显然有a,bEEa，从而a-bE(Va)，故a-beE.如果a,b+o,则a·b-leEa(Va)推出a·b-leE.(2)设E。（αEI)都是包含S的全部子域.由(1)知E=~E也是子域，并且显然也包含S.这表明E=Es,对某个βI.由E的定义，我们有ECEa,VaEI.(3)假设E是素域.对任何子域HCF，因为1EH，故由(2)知，ECH，即E是最小的子域.假设E是另一个极小的子域（即不存在更小的子域含于它），则由ECE推出EE.这■就推出了唯一性.我们可以详细描述F的素域E.对任何整数n，以及任何元素aEF，我们定义如下方便的-7-
第一章域的基础知识记号n>0,a+.+a,n>0,a,nn0,1,以及n=0,ann = 0,na:=(@.....a)-1, n<0,(a+...+a), n<0,-n-n有时为了防止意义混淆，在必要时，我们也将na改记为n·a.在上述记号下，我们有(1-2)E=((m1)-(n1)-1 [m,nEZ,nl+0)命题1.5.3以下条件彼此等价：(1)F的素域是有限域,(2)存在非零整数n,使得nl=0(3)存在素数p,使得pl=0条件成立时，上述P是最小的满足p1=0的正整数证明(1)(2).不妨设对任何非零整数n，都有n1≠0.此时我们可以说明对任何两个不同整数m1,m2，都有m11≠m21.若不然，则有（m1一m2)1=0，与假设矛盾！这样，素域中包含了无限多个元素，与假设条件（1）矛盾！(2)→(3)设p是最小的正整数使得pl=0.由命题1.4.1(5),p>1.假如p不是素数，则p可写成两个大于1的整数乘积p=pp"。此时由p的极小性知p1≠0,p"1≠0.因此由命题1.4.1 (6)知pl = (p’1) - (p"1) ± 0,矛盾！故p是素数(3）一（1）由素域的描述（1-2)即得，因此此时根据整数的带余数除法，形如n1的元素只-有0.1,1.1,**,(p-1).1几类由上面的讨论，我们可以引入域的一个重要的不变量，定义1.5.2设F是域，如果F的素域是有限域，p是满足pl=0的最小正整数，我们就称域F有特征（Characteristic)p，或者简称其有正特征；如果F的素域是无限域，就称域F有特征0.我们将特征记为ch(F)或x(F).例1.5.2（1）任何数域的特征都是0.(2)模素数p的剩余类域Fp（或记为Zp）特征为p.-(3)有理函数域k(r)与域k的特征相同.更一般地，一个域与它的子域有相同的特征.推论1.5.1域F和它的任何子域必有相同特征，推论1.5.2如果域F的特征ch(F)=p>0,那么对任何元素aeF，都有pa=0证明-pr= (pl) =0-8-
第一章域的基础知识1.6域同态假设E，F是两个域.如果我们希望了解这两个域的结构的相似程度有多大的话，我们可以建立一个适当的映射f:E-→F来将它们的结构联系起来.这有点类似于线性代数中研究两个空间结构之间的关系我们由此引出如下的概念，定义1.6.1设α：E一→F是域之间的映射：如果它满足以下诸条件，则称之为域同态(Field homomorphism):(1) a(r +y) =a(a) +a(y), Va,y E.(2) o(r y) =o(r) -o(y), Va,y E E.进一步，如果α是单射，我们就说它是单同态（monomorphism)；如果是满射，就称其为满同态(Epimorphism)；如果存在同态T：F→E使得aT=IdF及Ta=IdE，则称为域同构(Isomorphism)，T=α-1为逆映射，有时简记该同构为EF.注1.6.1（1)请注意上面两式中左右两端的加法和乘法是定义在不同的域中的(2)α：E→F是域同构当且仅当α既是单同态也是满同态.例1.6.1(1)对任何域F,恒同映射IdF：F→F显然是域同构(2)零同态α：E→F定义为()=0,VrEF.我们也称其为平凡同态(3)假设E是F的子域，考虑嵌入映射i：E→F，即i(a)=(VaEE).由定义直接可知它是-域同态.例1.6.2（二次扩域的共轭映射）设F=O（Vd）是二次扩域，我们定义映射a:F-F,a+bva-→a-bVa我们验证它是域同构，其逆映射恰好是本身，设r=a+bv,y=c+hvdeF.我们有o(r+y) =o(a+c) +(b+h)Vd) = (a+c) -(b+h)Vd =a(r) +o(y)以及(r y) =o(ac+ bhd) +(bc + ah)Va) = (ac + bhd) - (bc + ah)Vd= o(a) ·o(y)因此是域同态。因为2=IdF，所以=-1是域同构，一此外，容易看到。限制在子域①上是恒同映射例1.6.3(Frobenius同态）假设F的特征ch(F)=p>0.我们定义映射Fr:F-→F→p这实际上是一个域同态！对任何&,yEF，由二项式展开得0-1Fr(α+y)=(α+y)P=ap +yP+ChCk.k=1-9-
第一章域的基础知识注意到系数Ck是p的倍数，因而上式右端除了前两项外，其余项皆为零这样Fr(r +y) =ap +yp= Fr(a) + Fr(y).另一方面，Fr(α·y）=（a·y)p=ap·yp=Fr(r）·Fr(y)：这就证明了Fr是同态。它称为■Frobenius同态.命题1.6.1假设α：E→F是非零域同态，那么(1) (0) = 0, a(1) = 1,(2)对任何非零元rEE，我们有a(-a) =-(r), a(α-1) =a(r)-1.特别地，非零元的像必定非零(3)α是单同态，像集Ima是F的子域(4)a:E→Img是域同构.(5)E,F有相同特征，证明月(1)因为a(1)=α(0+1)=o(0)+α(1),所以α(0)=0我们取aEE,使得(a)≠0.由上面讨论，这样的a必是非零元因为o(a)=(1·a)=g(1)(a),所以(1)=1(2)因为0 =(0) =(α+(-r)) =() +(-)所以(-a)=-o(a).类似地,1=(1) =(α·a-1) =o(r) o(r-1)故由命题1.4.1(2)知,(a)0,且α(α-1)=o(α)-1.(3)假设不是单同态，那么存在两个不同元素,EE，使得a(a)=a(y)因而o(a-y) =o(r) -o(y) = 0.由(2)可知，-9=0,即a=y，矛盾！故α是单同态，为说明像集Img是F的子域，我们使用命题1.5.1.首先注意0,1EIma.对任何a(a),b=(y)Imo,我们有a-b=(a-y)Imo.如果a,b0,则a,y0,从而a-b-1 = o(r-y-l) e Imo.(4)我们验证逆映射a-1:Img→E是同态.任取a=(a),b=a(y)eImo.我们有α-1(a+b) =-1(α() +α(y) =α-1(a( +y) = r+y =α-1(a) +α-1(b),以及g-1(a-b) =g-l(o(a)o(y)) =α-l(o(*y) = y =g-1(a)+g-l(b)因此α-1是同态(5）由(3)及推论1.5.1,Img与F有相同特征。因此由(4)，我们可以把讨论归结到α：E一F是域同构的情形.如果ch(E)=p>0,那么plr=p·α(1E)=(ple)=α(0)=0,从而由命题1.5.3得ch(F)=p.如果ch(E)=0,那么ch(F=0,否则上面讨论推出ch(E)>0,矛盾！- 10-
第一章域的基础知识例1.6.4取F=F为模素数p的剩余类域.考虑Frobenius同态Fr：F→F由命题1.6.1(1),，Fr([nl)=Fr(n·[1])=n·Fr([1]=n·[1] =[n],故它是恒同映射。这就推出Fr([n])=[njp=[n],VnEZ.换言之，[nP]=n],亦即p|(nP-n).这就是初等数论中的费马小定理-推论1.6.1域F的素域同构于模p的剩余类域Fp（如果特征ch(F)=P)或有理数域@(如果特征ch(F)=0).证明设E是F的素域.我们讨论ch(F)=p>0的情形，零特征情形类似可证。我们构造域同态g:Fp→E,[n]→nl以及域同态T:E-→Fp, (n1) (m1)-1 →[n] [m]-1.显然T=Ide考虑E中任何元素a=(n1)·(m1)-1.今取整数m*，使得[m*]=[m]-1,于是[mm*]=[1],即（mm*-1)是p的倍数.因而(mlp)-(m*1p)=mm*1p=(mm*-1)1p+1p=1p.这就推出(m·1F)-1=m*1F，故a=(nm*)1F.这样，aT(a)=(nm*)1F=a.因此aT=Ide-这就证明α是域同构.注1.6.2域同构给出了域之间的一个等价关系，我们只需要研究每个等价类中的代表元即可，这是因为同构的域在代数结构上具有相同的性质，比如上述命题表明素域的结构其实只有两种可能性，即剩余类域或有理数域，所以我们只需要研究这两种域的性质即可了解素域.例1.6.5(1)验证：不存在从有理函数域Q(a)到二次扩域Q(V@)的非平凡域同态反证法.假设α：Q(a)→Q(V@)是非零域同态，(a)=a+bVa.因为o(1)=1,所以a(n）=α(n1)=n·α(1)=n，nEZ.因此对任何有理数益，我们有（）=m)=这推出()-()-()-())=d=o(d)由域同态的单射性得（)2=d.这与是不定元的事实矛盾！(2）验证：不存在剩余类域F，到有理数域Q(V@)的非平凡域同态，反证法，如果存在非平凡同态，那么由命题1.6.1（5)，两个域必须有相同特征.无论如何，-ch(Fp)=p, ch(Q(Vd))=0,矛盾!例1.6.6证明：域Q(V)到自身的非零同态仅有两种：恒同映射和共轭映射（见例1.6.2)证明假设：Q(Va)一→Q(V@)是非平凡同态.设α(V@)=α+bVa,类似上例的讨论d = a(d) = o(Va)2 = (a + bVa)2 = (a2 + b2d) + 2abVd这意味着ab=0,a2+b2d=d.如果b=0,那么d=a2,这与d不含平方因子的假设条件矛盾！因此a=0,从而b=±1.注意到，对任何s+tVaeQ(Va)，有a(s+tV@)=+tbVa.因此若b=1,g就是恒同映射；若b=-1,g就是共轭映射.■-11-