例1不作计算，估计1=∬e+dc的值， 其中D是椭圆闭区域： +2=1(0<b<m) 解 区域D的面积o=b元， 在D上0≤x2+y2≤a2, .1=e°≤e+≤e 由性质6知g≤∬er+do≤o·e, abr≤∬e+r'do≤abme
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例 1 不作计算，估计 I e d D x y + = ( ) 2 2 的值， 其中D是椭圆闭区域： 1 2 2 2 2 + = b y a x (0 b a). 在D上 2 2 2 0 x + y a , 1 , 2 2 2 0 x y a = e e e + 由性质 6 知 , 2 2 2 ( ) a D x y e d e + 解 + e d D ( x y ) 2 2 ab . 2 a abe 区域 D 的面积 = , ab
四、曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 y=02(x) 0-r8 任取xo∈[a,b],平面x=xo截柱体的 0 a xo bx 藏面积为0)0od y=01(x) 故曲顶柱体体积为 "=J川nfx,yWda=Axdx dyldx
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 x b a [ ]d = 四、曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 = a x b x y x D x y ( ) ( ) ( , ) 1 2 任取 平面 故曲顶柱体体积为 = D V f (x, y)d 截面积为 f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a A(x)d x 截柱体的 ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x z x y o a x0 b D
同样曲顶柱的底为 D={(x,y)1(y)≤x≤w2(y),c≤y≤d} 则其体积可按如下两次积分计算 V=∬nf(x,y)do x=w() =fxwd]ay dd
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 y d c o x ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y y y d c [ ]d = D = (x, y) 1 ( y) x 2 ( y), c y d 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 = D V f (x, y)d f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1
例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积 解：设两个直圆柱方程为 x2+y2=R2,x2+z2=R2 利用对称性，考虑第一卦限部分， +y2=R2 其曲顶柱体的顶为z=√2-x2 (x,neD:0≤ysyr2-x 0≤x≤R 2+z2=R2 则所求体积为 -dxdy-ddy -8(R2)dx-16
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. x y z R o R 解: 设两个直圆柱方程为 , 2 2 2 x + y = R 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 − 2 2 0 d R x y R x x R 8 ( )d 0 2 2 = − 3 3 16 = R 2 2 2 x + z = R 2 2 z = R − x − 0 0 ( , ) : 2 2 x R y R x x y D R x x R 8 d 0 2 2 = −
苏本堂 重积分计算的基本方法 —累次积分法 1.选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面（线）围成： 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2.选择易计算的积分序 积分域分块要少，累次积分易算为妙 3.掌握确定积分限的方法 图示法 (从内到外：面、线、点) 列不等式法
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法