、本写 第七节方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、方向导数 二、梯度 第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 讨论函数z=f化，y在一点P沿某一方向的变化率 问题. 设函数z=x,y)在点Pxo,o)的某一邻域U(Po)内有定 义，1是xOy平面上以Pxyo)为始点的一条射线，与同方 向的单位向量为e=(cosa,cosβ) 取P(x+icosa,.yo+-tcosB)∈U(Po),如果极限 lim f(xo+tcosa,yo+tcosB)-f(xo-Yo) t→01 存在，则称此极限为函数孔x,y)在点P。 e 沿方向的方向导数，记为 af Po a1(） x
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、方向导数 讨论函数z=f(x,y) 在一点P沿某一方向的变化率 问题． 设函数z=f(x, y)在点P0 (x0 y0 )的某一邻域U(P0 )内有定 义 l是xOy平面上以P0 (x0 y0 )为始点的一条射线与l同方 向的单位向量为el=(cos cos) 取P(x0+tcos y0+tcos)U(P0 ) 如果极限 t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − → + 存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0 沿方向l的方向导数, 记为 ( , ) 0 0 l x y f
山东 方向导数 f lim f(xo+tcosa,Yo+tcos B)-f(xo-yo) (xo.yo) t-→01 t 方向导数就是函数x,y)在点P(,yo)处沿方向的 变化率 思考：函数x,y)在点P沿x轴正向和负向，沿轴正向和负 向的方向导数如何？ 沿x轴正向时，cosa=1,c0sB=0 lim f(xo+t,Yo)-f(xo2 yo) =对 o) t→0 t x\(xo.yo) 沿x轴正向时，coS=-1,c0sB=0 0a a逆 l(o-Yo) Oxl(xoo】
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( , ) 0 0 l x y f t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → + 方向导数 方向导数就是函数f(x y)在点P0 (x0 y0 )处沿方向l的 变化率 思考: 函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负 向的方向导数如何? 沿x轴正向时, cos=1 cos=0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim t x y f f x t y f x y l t → + + − = 0 0 ( , ) x y f x = 沿x轴正向时, cos=−1 cos=0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y x y f f l x = −
定理如果函数zx,)在点P(xo,)可微分，那么函数 在该点沿任一方向I(e=(cosa,cos)的方向导数都存在， 且有 f =f:(Xo-Yo)cos@+fy(xo-Yo)cosB. 证明：由于函数可微，则增量可表示为 fx,+△x,%+△y)-f,)=(,)△r+fxo,%)Ay+o(V△x)2+(4y)2) 但点(+△x,%+)在以(0，w)为始点的射线上，故有 Ar=icosa,△y=tcos B,.V△x)2+(△y)2=t,所以 lim fotcosa,Yo+icosB)-f(o) 1(xo.)10* t =f(xo2 Yo)cosa+f(xo2o)cos B
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理 如果函数z=f(x, y)在点P0 (x0 y0 )可微分, 那么函数 在该点沿任一方向l(el=(cos cos))的方向导数都存在, 且有 ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = + 证明:由于函数可微，则增量可表示为 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( ) ( ) ) x y f x x y y f x y f x y x f x y y o x y + + − = + + + 但点 0 0 ( , ) x x y y + + 在以(x0,y0)为始点的射线l上,故有 2 2 = = + = x t y t x y t cos , cos , ( ) ( ) ,所以 ( , ) 0 0 l x y f t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → + 0 0 0 0 ( , )cos ( , )cos . x y = + f x y f x y
山东农业大 等数 苏本草 函数x,y)在点Po沿方向l(e=(cosa,cos)的方向导数： 司店 =fs(xo-Yo)cosa+fy(xo-Yo)cosB. 例1求函数z=x2y在点P(1,0)处沿从点P到点Q(2,-1) 的方向的方向导数 解=儿-)，与同向的单位向堡为，（分 因为函数可微分，且 d虹 =e2y ax.0) =1, 1,0) n =2xe2y =2, (1,0) 所以所求方向导数为
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 求函数z=xe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, −1) 的方向的方向导数. 解 所以所求方向导数为 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el=(cos cos))的方向导数 ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = + 解 → PQ=(1, −1) 与 l 同向的单位向量为 ) 2 1 , 2 1 el =( − 因为函数可微分 且 1 (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2 (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) = + − =− l z 解 → PQ=(1, −1) 与 l 同向的单位向量为 ) 2 1 , 2 1 el =( − 1 (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2 (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 1 (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2 (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 1 (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2 (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 1 (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2 (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 1 (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2 (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) = + − =− l z 2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) = + − =− l z