1东农 第八节多元函数的极值及其求法 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值拉格朗日乘数法
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 第八节多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数=孔x,y)在点(xo,o)的某个邻域内有定 义，如果对于该邻域内任何异于(x)的点(x,y),都有 x,y孔xo,o或x,yPxo,o), 则称函数在点(xo)有极大值（或极小值x,o), 极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称 为极值点， 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值； z=-Vx2+y2在点(0,0)有极大值 z=xy在点(0,0)无极值
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数z=f(x y)在点(x0 y0 )的某个邻域内有定 义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0 )的点(x y) 都有 f(x y)<f(x0 y0 )(或f(x y)>f(x0 y0 )) 则称函数在点(x0 y0 )有极大值(或极小值)f(x0 y0 ) 极大值、极小值统称为极值 ,使函数取得极值的点称 为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,y0)=0,f(x0,0)=0 证：因z=f(x,y)在点(xo,yo)取得极值，故 z=∫(x,yo)在x=xo取得极值 z=∫(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 注1.使偏导数都为0的点称为驻点.但驻点不一 定是极值点 如，2=y有驻点(0,0)，但在该点不取极值
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注 1. 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .但驻点不一 定是极值点. 如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故
2.从几何上看，这时如果曲面z=x,y)在极值点 (,)处有切平面，则切平面 2-20f(xo,y0x-x0+fxo,00-o) 成为平行于xOy坐标面的平面2=20 类似地可推得，如果三元函数=∫(x,y,z)在点 (xo,o,0)具有偏导数，则它在点(xo,o,2)具有极值的 必要条件为 (o2 o2 )-0,oo )0,(o o2 )=0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 从几何上看这时如果曲面z=f(x y)在极值点 (x0 y0 z0 )处有切平面 则切平面 z−z0=f x (x0 y0 )(x−x0 )+ f y (x0 y0 )(y−y0 ) 成为平行于xOy坐标面的平面z=z0 类似地可推得 如果三元函数u=f (x y z)在点 (x0 y0 z0 )具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0 )具有极值的 必要条件为 f x (x0 y0 z0 )=0 f y (x0 y0 z0 )=0 f z (x0 y0 z0 )=0
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(x0,)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0 A=fxx(xo,o),B=fxy(xo,yo),C=fyy(xo,Yo) A<0时取极大值： 则：1)当AC-B2>0时，具有极值 A>0时取极小值， 2)当AC-B2<0时，没有极值 3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论 证明见第九节
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节. 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点 (x0 , y0 )的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = x x = x y = y y 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B =