主计 本堂 第二节常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二节常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
、 正项级数及其审敛法 00 若4n≥0，则称∑4n为正项级数 n=1 定理1.正项级数∑n收敛二部分和序列S。 n=] (n=1,2,.)有界 证：“”若4n收敛，则{Sn}收敛，故有界 n=l 4n≥0，.部分和数列{Sn}单调递增， 又已知{Sn}有界，故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛 n=l
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、正项级数及其审敛法 若 0, n u n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “
等数学 本 00 定理2（比较审敛法） 设∑4n,∑yn是两个正项级数 n=l n=1 且存在N∈Z+,对一切n>N,有un≤ym 则有 (1)若级数 ∑y收敛，则级数 ∑4n也收敛 n=1 n=l (2)若级数 ∑4n发散， 则级数 ∑yn也发散 n=1 n=1 证：因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，故不妨 设对一切n∈Z+,都有4n≤Vn, 令Sn和on分别表示两个级数的部分和，则有
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示两个级数的部分和, 则有 是两个正项级数, 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
Sn≤On (1)若级数 ∑n收敛，则有on≤M n=1 因此对-切n∈Z,有Sn≤on≤M 由定理1可知，级数 ∑4n也收敛 n=l (2)若级数 ∑4n发散，则有1imSn=o, n=1 1n→0 因此lim0n=∞，这说明级数 n→a0 ∑也发散. n=
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (1) 若级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若级数 则有 因此 这说明级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 级数
山东农大 等数学 方本堂 例1.讨论p级数1+ 2P n2+.(常数p>0) 的敛散性！ 解：1)若p≤1，因为对一切n∈Z, 、1 n 00 1 而调和级数 n=1h 发散，由比较审敛法可知p级数∑ 发散
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数 =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 发散 . 发散