山东农业大发 本堂 第四节函数展开成幂级数 一、 泰勒级数 二、函数展开成幂级数
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒(Taylor)级数 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f(x)=f(xo)+f(o)x-xo)+I"(xo(x-xo) 21 ++fm(x-”+R,( 此式称为f(x)的n阶泰勒公式，其中 R(x)= 0（D(x-0)1(在x与为之间) (n+1)川 称为拉格朗日余项
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 其中 Rn (x) = ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 :
山东农业大 等数 主讲 苏本堂 若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称 f(x)+f(oXx-30)+"(x-x) 2川 ++fm()(x-”+. 为f(x)的泰勒级数. 当x=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数 待解决的问题： 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(x)?
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数. 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为f (x) ? 待解决的问题: 若函数 的某邻域内具有任意阶导数
定理1.设函数f(x)在点x的某一邻域U(xo)内具有 各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足：lim Rn(x)=O. 正明：e=Y-Y.e n->o0 60-5r ‖令§ f(x)=S,(x)+R(x) lim R (x)=lim[f(x)-S+(x)]=0,xeU(xo) n-→o n→0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = − = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = − = + ( ) 0 x x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有
山东农业 定理2.若f(x)能展成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同 证：设f(x)所展成的幂级数为 f(x)=a0+4x+a2x2+.+anx”+.,x∈(-R,R) 则 a0=f(0) f'(x)=a1+2a2x+.+napx"-1+. a1=f'(0) f"(x)=2a2+.+n(n-1)anx”-2+.;a2=2if"(0) fm(x)=nlan+.; an=mf(O) 显然结论成立
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f x = a1 + a2 x ++ nan x n− + (0) 1 a = f ( ) 2! ( 1) ; 2 f x = a2 ++ n n − an x n− + (0) 2! 1 2 a = f ( ) ! ; f (n) x = n an + (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立. (0) 0 a = f