山东农业大 苏本 第五节隐函数的求导方法 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形 第五节隐函数的求导方法
本节讨论： 1)方程在什么条件下才能确定隐函数： 例如，方程x2+√下+C=0 当C<0时，能确定隐函数； 当C>0时，不能确定隐函数； 2)在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微性 及求导方法问题
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题
山东农大 主讲 方本 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数F(x,y)在点P(x0,yo)的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数： ②F(x0,y0)=0; ③Fv(x0,y0)≠0 则方程F(x,y)=0在点(x,y的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=f(x),满足条件yo=∫(xo),并有连续 导数 dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数 ( , ) 0; F x0 y0 = 则方程 单值连续函数y = f (x) , 并有连续 y x F F x y = − d d (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0 ② ③ 满足条件 导数
设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)=0 两边对x求导 OF oF dy=0 Ox 8y dx 在(xo,yo)的某邻域内F,≠0 dy dx 网
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 两边对 x 求导 y x F F x y = − d d 0 在 的某邻域内 Fy 则
山东农业大 等数 主讲 苏本堂 例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域内能唯 一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y孔x),并 求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值， 解设Fx,y)=x2+y2-1,则 Fx=2x,F=2y,F0,1)）=0,F,(0,1)=2≠0 由隐函数存在定理，方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某一邻域 内能唯一确定一个有连续导数、当x=O时y=1的隐函数 y=x), dx Fy =0; dy dx2 3, =-1 dx2 x=0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 设F(x, y)=x 2+y 2−1, Fx =2x, Fy =2y, F(0, 1)=0, Fy (0, 1)=20. 则 由隐函数存在定理,方程x 2+y 2−1=0在点(0, 1)的某一邻域 内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数 y=f(x). y x F F dx dy y x =− =− 0 0 = x= dx dy y x F F dx dy y x =− =− 0 0 = x= dx dy y x F F dx dy y x =− =− 0 0 = x= dx dy 例1 验证方程x 2+y 2−1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯 一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x), 并 求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值. 2 2 3 2 1 y y y xy dx d y = − − = − 1 0 2 2 =− x= dx d y 2 2 3 2 1 y y y xy dx d y = − − = − 1 0 2 2 =− x= dx d y 2 2 3 2 1 y y y xy dx d y = − − = − 1 0 2 2 =− x= dx d y