高 第十一章习题课 基本内容 。典型例题
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第十一章 习题课 基本内容 典型例题
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 实例：曲线形构件的质量 B L 匀质之质量M=p·S. M ,:) M2 M 分割M1,M2,.,Mn-1→△S, M-1 A M 0 近似 取(5，n)∈△s,△M;≈p(5,n:)·△s 求和M≈∑p(5,n)Ay, 近似值 精确值 取极限M=im∑p(传，n,)△，. 2→01 i=1
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = s. o x y A B M1 M2 Mi−1 Mi Mn−1 L ( , ) i i 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 = n i i i i M s 近似值 取极限 lim ( , ) . 1 0= → = n i i i i M s 精确值 近似
1.定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数fx,y)在L 上有界.将L任意分成n个小弧段：△s1,△s2,··,△sn(△s,也表示 第个小弧段的长度)；在每个小弧段△s上任取一点(5,7)，作和 ∑f5,7)△s; i1 如果当=max{△S1,△s2,··,△sm}→0时，这和的极限总存在，则 称此极限为函数x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分，记作 ∫fx,即 fxk=m∑f5,n)As, 0≥1 其中x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1. 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L 上有界将L任意分成n个小弧段s1 s2 sn (si也表示 第i个小弧段的长度)在每个小弧段si上任取一点(i i ) 作和 i i i n i f s = ( , ) 1 i i i n i L f x y ds = f s → = ( , ) lim ( , ) 1 0 如果当=max{s1 s2 sn }→0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作 f x y ds L ( , ) 即 其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段
山东 方本 对弧长的曲线积分 f(x.y)ds=m2f5,7)△ 注 元>021 •对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 ·当函数孔x,y)在光滑曲线弧L上连续时，函数x,y)在曲线 弧L上对弧长的曲线积分是存在的.以后我们总假定孔x,y) 在L上是连续的. 如果L是闭曲线，则记为ff(x,y)ds. ·类似地定义函数孔x,y,z)在空间曲线弧「上对弧长的曲线 积分： f6xy,2)d=lim∑f5,n,5)△s. 2>01
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 i i i n i L f x y ds = f s → = ( , ) lim ( , ) 1 0 对弧长的曲线积分 注 •当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线 弧L上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y) 在L上是连续的 •对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 i i i i n i f x y z ds = f s → = ( , , ) lim ( , , ) 1 0 •类似地定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线 积分 •如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s
注 如果L(或Γ)是分段光滑的，则规定函数在L(或T)上的曲 线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和， 例如，设L可分成两段光滑曲线弧L及L,则规定 fds-l f.yds+f.ds 思考： (I)若在L上fx,归1，问，ds表示什么？ (2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例？ 否！对弧长的曲线积分要求ds≥0，但定积分中 dx可能为负
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 •如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲 线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定 f x y ds f x y ds f x y ds L L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 = + + 注 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d 表示什么? L s (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否!对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负