《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）全微分

第三节全微分 一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用 第三节 全 微 分

山东农业大 本 一、全微分的定义 1.偏增量与偏微分 根据一元函数微分学中增量与微分的关系，有 x+△x,y)-x,y)fx,y)△x, Ax,y+Ay)fx,y)f(x,y)Ay, x+△x,y)x,)—函数，y)对x的偏增量 x,件△y)x,)—函数x,y)对的偏增量 f(x,y)△x 函数孔x,y)对x的偏微分 f(x,y)△ 函数x,y)对y的偏微分 全增量 △2=x+△x,y+△y)-x,y)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、全微分的定义 ————函数f(x, y)对x的偏微分 ——函数f(x, y)对y的偏增量 ————函数f(x, y)对y的偏微分 全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y). 1.偏增量与偏微分 f(x+x, y)−f(x, y)f x (x, y)x, f(x, y+y)−f(x, y)f y (x, y)y, ——函数f(x, y)对x的偏增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 f(x+x, y)−f(x, y) f(x, y+y)−f(x, y) f x (x, y)x f y (x, y)y

2.全微分的定义 如果函数z=孔x,y)在点(x,y)的全增量 △=x+△x,y+△y)-x,y) 可表示为=A△r+BAy+o(p)(p=V(x)P+(△y)2), 其中A、B不依赖于△x、△y而仅与x、y有关，则称函数 =x,y)在点(x,y)可微分，而A△x+B△y称为函数=x,y)在 点x,y)的全微分，记作dz,即 dz=A△x+B△y 如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数 在D内可微分

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2.全微分的定义 其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数 z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而Ax+By称为函数z=f(x, y)在 点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz=Ax+By. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数 在D内可微分. 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y) 可表示为 ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 z = Ax+By+o   = x + y 

由微分定义： lim△2=Iim[(A△x+BAy)+o(p)]=0 △x→0 D→01 △y-→0 得 limf(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x→0 △y-→0 即 函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微二 偏导数存在 (2)偏导数连续二 函数可微

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (2) 偏导数连续 z = f (x + x, y +  y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 由微分定义 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即

定理1（必要条件）若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 则该函数在该点偏导数 020三必存在，且有 Oxay dz= 0x y ay 证：由全增量公式△z=A△x+B△y+o(p),令△y=0, 得到对x的偏增量 △xz=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x) lim △x2=A Ox△x-0△x 同样可证 02=B,因此有dz= ay O2 Ly Ox

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y y z x x z z     +   d = x z    同样可证 B, y z =   证: 由全增量公式 令y = 0, = Ax + o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x   =  →0 lim = A