《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）格林公式及其应用

第三节格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 四、全微分方程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 四、全微分方程

高等数学 本 格林公式 单连通与复连通区域 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都 属于D,则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时，如果左手在 区域D内，则行走方向是L的正向. 单连通区域 复连通区域

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、格林公式 单连通与复连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在 区域D内 则行走方向是L的正向 单连通区域 复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都 属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域

格林公式 定理一设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数 P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有 尝黔fP+w, D 或 dxdy=Pdx+Qdy 其中L是D的取正向的边界曲线， 注： 对复连通区域D,格林公式右端应包 括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边 界的方向对区域D来说都是正向

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( )  定理一 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数 P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 注: 对复连通区域D格林公式右端应包 括沿区域D的全部边界的曲线积分且边 界的方向对区域D来说都是正向 一、格林公式    = +    D L x y x y P x Q y P Q 或 d d d d

山东农业大 主计 苏本堂 证明：1)若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且 D p1(x)≤y≤p2(x) . a≤x≤b d 41y)≤x≤Ψ2(y) B c≤y≤d 则ud=aw4 o a bx =∫w2yy)dy-∫wy,y)dy =∫cQ(x,y-∫aQ(x,d =jcBQ(x,yiy+jEac(x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且        a x b x y x D ( ) ( ) : 1  2 则 x y x Q D d d     = d c Q( ( y), y )dy  2   ( )  ( ) 2 1 d y y x x  Q   = CBE Q(x, y)dy  + EAC Q(x, y)dy  − d c Q( ( y), y )dy 1  = d c dy d c y o x E C A B a b D

即 j2at-j.e,t ① 同理可证 ,那dha-j,P. ② ①、②两式相加得 n9d手ua

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( )   = +   −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d