本 第十章习题课 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第十章习题课 一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
山东夜 二、二重积分的定义 1.定义：设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数， 将区域D任意分成n个小区域△o(i=1,2,.,n), 任取一点(5，)∈△o,若存在一个常数I,使 I=lim 230 ∑f(5,1,)△o 记作 川nfa,)do i=1 则称f(x,y)/何积，称I为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 积分表达式 f(x,y)do x,y称为积分变量 积分域 被积函数 面积元素
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、二重积分的定义 １.定义: 设 f (x, y) 将区域 D 任意分成n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 则称 f (x, y) 可积 , 称I为 f (x, y) 在D上的二重积分. x, y称为积分变量 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数
主计 本堂 直角坐标系下面积元素o图示 ∬fx,yo D do dxdy, y ∫∬f(x& D D △yk 0 △x
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 0 x y D j x i 直角坐标系下面积元素 d 图示 D f (x, y)dxdy d = dxdy, ( ) D f x, y d k y
如果f(x,y)在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△o:=△r,Ay,因此面积元素do也常 记作dxdy,二重积分记作 f(x.y)dxdy 引例1中曲顶柱体体积： v=f(xy)do=f(x.y)dxdy 引例2中平面薄板的质量： M=S p(x.y)do -Sp(x.y)dxdy
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 = D V f (x, y)d 引例1中曲顶柱体体积: = D M (x, y)d 引例2中平面薄板的质量: 如果 f (x, y) 在D上可积, 也常 dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y 分区域D , 这时 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 = D f (x, y)d x d y = D (x, y)d x d y
2.注解： (1)二重积分的存在性：若函数f(x,y)在有界闭区域 上连续，则f(x,y)在D上可积. (2)二重积分几何意义： 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2.注解: (1)二重积分的存在性：若函数 在D上可积. 在有界闭区域 上连续,则 (２)二重积分几何意义： 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．