三、二重积分的性质 定积分的性质 性质1当伪常数时， 性质1 dada. fx)=k心fx)d 性质2 性质2 Jf(x,)±g(x,ydo f(x)±g(x) =fx,yao±gx,川do.=fx±gae)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 三、二重积分的性质 性质１ 当 k 为常数时， ( , ) ( , ) . = D D kf x y d k f x y d 性质２ D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) . = D D f x y d g x y d 定积分的性质 = b a b a k f(x)dx k f (x)dx 性质１ b a [ f (x) g(x)]dx = b a f (x)dx b a g(x)dx . 性质２
本 性质3对区域具有可加性 性质3 (D=D+D2) ∬fx,y)o f(x)dx ∬fx,ao+∬fx,yado.=gfx&+f(x) = D D, 性质4 性质4 若o为D的面积， f21dc=∫dc=b-a. o=∬j1-ao-∬o
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 性质３ 对区域具有可加性 ( ) D = D1 + D2 D f (x, y)d ( , ) ( , ) . 1 2 = + D D f x y d f x y d 性质３ b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx . 若 为D的面积， 1 . = = D D d d 性质4 dx b a 1 dx b a = = b − a. 性质4
性质5若在D上 性质5如果在[a,b上 f(x,y)≤g(x,), f(x)≤g(x) 则有 ∬f.ydo≤∬gxdo. 则旷心fx≤g(xk 特殊地 特殊地 d.Ifxs广fe
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 性质５ 若在D上 f (x, y) g(x, y), ( , ) ( , ) . D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) . D D f x y d f x y d 则有 f (x) g(x) 性质５ 如果在 [a,b] 上 f x dx b a 则 ( ) g x dx b a ( ) 特殊地 f x dx b a ( ) f x dx b a ( )
性质6设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的 最大值和最小值，σ为D的面积，则 mo≤小f(x,y)do≤Mo (二重积分估值不等式) 性质7设函数f(化，y)在闭区域D上连续，o为D 的面积，则在D上至少存在一点（传，）使得 J∬fx,Jy)o=f(传，)o (二重积分中值定理)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设M 、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则 性质６ 设函数 f (x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得 性质７ （二重积分中值定理） D m f (x, y)d M f (x, y)d = f (,) D （二重积分估值不等式）
性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续， ·为D 的面积，则在D上至少存在一点(5，)使得 ∬f(x,y)o=f(5,n·o D 证：由性质6可知 m≤川nfx,ydo≤M 由连续函数介值定理，至少有一点(5，)∈D使 f(.n)=f(x.y)da 因此 f(x.y)do=f(.n)o
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证: 由性质6 可知, m f x y M D ( , )d 1 由连续函数介值定理, 至少有一点 = D f f x y ( , )d 1 ( , ) 使 因此 设函数 f (x, y)在闭区域D 上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得 性质７ f (x, y)d = f (,) D