山东农业大 主计 第四节对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例：设曲面形构件具有连续面密度P(x,y,2),求质 量M. 类似求平面薄板质量的思想，采用 (5k,7k,Sk) “大化小，常代变，近似和，求极限 的方法，可得 M-lim p(5e,m.5)ASe 2→0k=1 其中，入表示n小块曲面的直径的 最大值（曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者）
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 o x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 = n k 1 M = ( , , ) k k k 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)
定义：设∑为光滑曲面，f(x,y)是定义在∑上的一 个有界函数，若对∑做任意分割和局部区域任意取点， “乘积和式极限” i2f(5,5)A记作 ∬faxy2ds k=1 都存在，则称此极限为函数f(x,yz)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.其中f(化，y)叫做被积 函数，∑叫做积分曲面 据此定义，曲面形构件的质量为M=八p(x,y,2)dS 曲面面积为S=∬dS
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 M (x, y,z)d S = 定义: 设 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 函数, 叫做积分曲面
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 ·积分的存在性.若f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续， 则对面积的曲面积分存在。 ·对积分域的可加性.若∑是分片光滑的，例如分成两 片光滑曲面∑1，∑2，则有 川2fx,y)ds=小2，fx,yz)ds+八5，fxa)ds ·线性性质.设k,k2为常数，则 小[kfx,y,2)±k28(x,y,z1S -6f,yds+儿eg0x)as
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. , , 1 2 则有 = f (x, y,z)d S 1 f (x, y,z)d S k f (x, y,z) k g(x, y,z) d S 1 2 • 线性性质. = k f (x, y,z)dS k g(x, y,z)dS 1 2 在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面
二、对面积的曲面积分的计算法 定理：设有光滑曲面 Σ：z=z(x,y),(x,y)∈Dy f(化，y)在∑上连续，则曲面积分 八f(x,八，)dS存在，且有 八fx,y,)s (△Ok)xy (5k,k,Sk） =[pf,y.=()+z2(.)+z(x.y)dxdy 证明：由定义知 八2fa,y)ds=lm ∑f(5k,k,5)△S →0 k=1
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 o x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 f (x, y,z)dS = Dx y f (x, y, ) 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 = n k 1 0 lim → Dxy ( , , ) k k k k x y ( )