《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）多元复合函数的求导法则

山东农业大 苏本堂 第四节多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 第四节多元复合函数的求导法则

一、多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数u=p(t),v=(t)在点t可导，z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=f(0(t),V() 在点t可导，且有链式法则 dz Oz du oz dv dt ou dt ay dt u 证：设t取增量△t,则相应中间变量 有增量△u,△v, △2= u+gsr+a(p)=iw) Ou Ov

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v t t 有增量△u ,△v

△z Oz△u,az△v,o(p) (p=V(△0)2+(A)2) △t Ou△t v△t △t 令△t→0，则有△u→0，△v→0， △u、du △v.dv △t dt' △t dt o(p)_ o(p) △t (△t<0时，根式前加“”号) dz Oz du oz dv (全导数公式) dt au di Oy dt

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如，z=(u,y,w), u=p(t),v=w(t),w=@(t) dz oz du oz dy oz dw dt ou dt av dt ow dt W =f'0'+f3y+f3o t 2)中间变量是多元函数的情形.例如， z=f(u,v),u=p(x,y),v=W(x,y) 0=_0z.Qu.B=.0v -foi+fiwi 8x au ax Ov Ox OzOz Ou +.0=fp+y奶 y x ay ou dy ov dy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u = (x, y), v = (x, y) =   x z 11 21 = f   + f   12 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + u = (t), v = (t), w = (t)

本堂 又如，z=f(x,v),v=W(x,y) 当它们都具有可微条件时，有 af of ov 0x Ox Ov Ox =f+叭 8z ofov 0y av 8y =2w2 注意：这里 与 8x 不同， x 表示固定v对x求导 8x 表示固定y对x求导， 8x 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 又如, z = f (x,v), v = (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = 与 不同, v