第二节偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 第二节 偏 导 数
定义1.设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内 极限 lim f(xo+Ax,Yo)-f(xo2 yo) △→0 △x 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,yo)对x 的偏导数，记为 02 of o:0))) fx(xo,yo);f(o2yo). 注意：才(x%)=1im f(xo+Ax,yo)-f(xo,yo) △x→0 △x . d
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定义1. z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点 (x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y = = ( , ). 1 0 0 f x y x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :
同样可定义对y的偏导数 f(xo.yo)=lim f(oo+A)-f(xoyo) △y→0 △y 若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为 偏导数，记为 ,x,x,0,x,川 ax’Ox t,川.f ay'ay
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 同样可定义对y 的偏导数 lim →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数u=fx,y,)在点(x,y,)处对x的 偏导数定义为 (x,y,2)=lim(x+Ax,v.=)-f(x.y,2) △x→0 △x f(x,y,z)=? (请自己写出) f2(x,y,z)=?
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x + x f (x, y,z) = ? y f (x, y,z) = ? z x 偏导数定义为 (请自己写出)
二元函数偏导数的几何意义： of 8x (.3)x y=Yo 是曲线 z=f(x,y在点M处的切线 1y=y0 Yo MoT,对x轴的斜率 of 是曲线 z=f(x,)在点M处的切线MoT,对y轴的 x=X0 斜率
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二元函数偏导数的几何意义: 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y = = = = = = 0 ( , ) y y z f x y M0Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y = = = = 是曲线 M0Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 y x z 0 x Ty o Tx 0 y M0 对 y 轴的