东液大 第四节 重积分的应用 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、转动惯量 五、引力
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节 重积分的应用 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、转动惯量 五、引力
方本 1.能用重积分解决的实际问题的特点 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性 2.用重积分解决问题的方法 ·用微元分析法（元素法） ·从积分定义出发建立积分式 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从积分定义出发 建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法
东农 一、立体体积 ·曲顶柱体的顶为连续曲面z=f(x,y),(x,y)∈D, 则其体积为 V=j∬nfox,drd ·占有空间有界域Ω的立体的体积为 V=j川dxdyd-
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 = D V f (x, y)dxdy • 占有空间有界域 的立体的体积为 V = dxdydz
山东农业才 方本 例1计算由曲面z=1-4x2-y2 与x0y面所围成的立体的体积 解一用二重积分D:4x2+y2≤1 V=J∬-4x2-y2)k 由对称性得 D V=4∬0-4x2 广=4a (1-4x2-y2)d D 解==亚==了奇了k V1-4x21-4x2-y
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 计算由曲面 2 2 z = 1− 4x − y 解一 用二重积分 与 xoy 面所围成的立体的体积 : 4 1 2 2 D x + y = − − D V (1 4x y )dxdy 2 2 由对称性得 例1 − = − − = − − 1 2 1 4 0 2 2 2 1 0 2 2 4 (1 4 ) 4 (1 4 ) D x V x y dxdy dx x y dy 1 3 2 4 2 2 2 0 0 8 8 1 (1 4 ) cos 3 3 2 4 x dx tdt = − = = 解二 = = 1 V dv 4 dv − − − = = 2 1 0 1 4 0 1 4 0 2 2 2 4 4 x x y dx dy dz
例2求z=2-x2-y,z=x2+y2所围成的立体的体积 解-V=-=∬2-x2-y)o-∬x2+y)do =2∬1-x2-y2)do （用极坐标) 2jaj-r内= 2 解二 2 是柱形区域，用柱坐标 L 2-1 v=∬w=了ao =2πr(2-2r2)dr=元
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 所围成的立体的体积 2 2 2 2 求 z = 2 − x − y ,z = x + y 解一 = − = − − − + D D V V V (2 x y )d (x y )d 2 2 2 2 2 1 = − − D 2 (1 x y )d 2 2 （用极坐标） = − = 2 0 1 0 2 2 d (1 r )rdr 解二 是柱形区域，用柱坐标 = V dv − = 2 0 1 0 2 2 2 r r d dr rdz = − = 1 0 2 2 r(2 2r )dr 例2