东液 第二节对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二节对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分的概念与性质 引例：变力沿曲线所作的功 L:A→B, F(x,y)=P(x,y)i+e(x,y)j 常力所作的功W=F.AB. A x 分割A=M,M(x1,y,Mn-(xm1yn1Mn=B. M:-1M;=(△x)i+(Ay)j. 近似取F(5,1)=P(5,7)i+Q(5,n)j, F() B M △W,≈F(5,n:)M-1M, M.△ 即△W:≈P(5,:)△x,+(5,n:)Ay:
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 引例: 变力沿曲线所作的功 L: A → B, F x y P x y i Q x y j ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 o x y A B L M1 M2 Mi−1 MiMn−1 xi i y 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1 M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i − = + W = F AB. 近似 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i 取 = + ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W P x + Q y o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F i i xi i y
近似取F(5,:)=P(5,:)i+Q(5,n)j, F(5,n) △W,≈F(5,n:)·M-1M, /MA 即△W,≈P(5,7:)△x:+(5,n:)Ay 求和W=之A形 近似值 i=1 ≈∑IP(5,n,)△x,+2(5,n,)△y,. 取极限W=m∑IP(5,)△x,+2(5,)Ay 精确值
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i 取 = + ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F i i xi i y ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W P x + Q y 求和 = = n i W Wi 1 [ ( , ) ( , ) ]. 1 = + n i i i i i i i P x Q y 近似值 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → = + n i i i i i i i W P x Q y 精确值 近似
1.对坐标的曲线积分的定义 设函数P(x,)、Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上有界。 把L分成n个有向小弧段L1,L2,·,Lm其中L,是从(，y-) 到(，y)的小弧段，记△x=x-xI,△y=y,-y-在小弧段L,上 任取一点(5，).令为各小弧段长度的最大值.如果极限 1im∑P5,n)Ax 元0白 总存在，则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐 标的曲线积分，记作∫P(x,y) 如果极限im∑Q5,)△总存在，则称此极限为函数 Q(x,)在有向弧L上对坐标的曲线积分，记作∫0(x,)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1.对坐标的曲线积分的定义 设函数P(x y)、Q(x y)在有向光滑曲线弧L上有界 把L分成n个有向小弧段L1 L2 Ln 其中Li是从(xi−1 yi−1 ) 到(xi yi )的小弧段 记xi=xi−xi−1 yi=yi−yi−1 在小弧段Li上 任取一点(i ) 令为各小弧段长度的最大值如果极限 总存在 则称此极限为函数P(x y)在有向曲线弧L上对坐 标 x的曲线积分 记作 i i i n i P x → = lim ( , ) 1 0 L P(x, y)dx L Q(x, y)dy i i i n i Q y → = lim ( , ) 1 0 如果极限 Q(x y)在有向弧L上对坐标y的曲线积分 记作 总存在 则称此极限为函数
对坐标的曲线积分 h=2PA,1exw=2a,m 2→0≥1 在积分中P(x,y)、Q(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分， 推广设厂为空间内一条光滑有向曲线弧，函数P(x,y,)、 Q(x,y,)、R(x,y,z)在T上有定义.我们定义 ∫Px,yz)d=m∑P5,n,6)Ax, 0xy,a=lm205n:5)4y, 1→01 R(xy,adk=m∑R5n,5)A 元→0=1
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 对坐标的曲线积分 i i i n i L P x y dx = P x → = ( , ) lim ( , ) 1 0 i i i n i L Q x y dy = Q y → = ( , ) lim ( , ) 1 0 在积分中P(x y)、Q(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 i i i i n i L Q x y z dy = Q y → = ( , , ) lim ( , , ) 1 0 推广 设为空间内一条光滑有向曲线弧 函数P(x y z)、 Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义 i i i i n i L P x y z dx = P x → = ( , , ) lim ( , , ) 1 0 i i i i n i L R x y z dz = R z → = ( , , ) lim ( , , ) 1 0