本堂 第三节幂级数 一、 函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
一、函数项级数的概念 设wn(x)(n=1,2,.)为定义在区间I上的函数，称 00 ∑4n(x)=4()+山2(x)+.+un(r)+. n=1 为定义在区间I上的函数项级数 对x∈I,若常数项级数∑4n(xo)收敛，称xo为其收 n=1 敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域； 若常数项级数∑“，(xo)发散，称xo为其发散点，所有 n=1 发散点的全体称为其发散域
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域; 若常数项级数 为定义在区间I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n =1,2, ) n 发散点的全体称为其发散域
苏本 在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 0 Sx)=∑4，(xy) n=1 若用Sn(x)表示函数项级数前n项的和，即 n S,()=∑4(x) k=1 令余项n(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim S(x)=S(x),lim r (x)=0 n-→0 1>00
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它
例如，等比级数 ∑x”=1+x+x2++xn+ n=0 它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 00 1 n=0 1-x 它的发散域是(-0，-1]及[1，+0)，或写作x≥1. 又如，级数 (x≠0)，当x=1时收敛， n=0 但当0<x≠1时，lim4n(x)=o0,级数发散； n-→o0 所以级数的收敛域仅为x=1
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 (− , −1 ] 及 [1，+ ）, 或写作 x 1. 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数
山东农业大 二、幂级数及其收敛性 形如 ∑an(x-xo)”=a+a(x-xo)+a2(r-o)2+ n=0 .+an(x-xo)”+. 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,1,.)称 为幂级数的系数 下面着重讨论x,=0的情形，即 ∑anx”=a0+ax+ax2++an”+ n=0 例如，幂级数 立”x<1侧是此种荷形 n=0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 − = = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称