《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）高斯公式

山东农业大 高等数学 主讲 方本堂 第六节高斯公式 一、高斯公式 二、通量与散度

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第六节 高斯公式 一、高斯公式 二、通量与散度

Newton-Lebniz公式 ra=F) b a Green公式 ↓股as-fr+ea Gauss公式 j瓜 2.or Ox dy Oz dxdydz=ff.Pdydz+Odzdx+Rdxdy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 Newton-Lebniz 公式 ( ) ( ) b a b F x dx F x a  =  Green 公式    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d Gauss 公式  = Pd y d z + Qd z d x + Rdx d y

山东农业大 一、 高斯公式 定理1设空间闭区域2是由分片光滑的闭曲面所围 成，函数P、Q、R在2上具有一阶连续偏导数，则有 品爱h-rt+0h+a, 叹亦器+号+2ch-年Pcoa+Qo+kas达 2 这里∑是2的整个边界的外侧，cosa,cosB、coS是∑在 点(x,y,)处的法向量的方向余弦. 证明：下面先证： a8ddyd:-f月uxdy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、高斯公式 定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围 成 函数P、Q、R在上具有一阶连续偏导数 则有 这里是的整个边界的外侧 cos、cos、cos是在 点(x y z)处的法向量的方向余弦     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( )  或 d v P Q R d S z R y Q x P ( ) ( cos cos cos )     = + +   +   +       x y z z R d d d     = Rd x d y 证明: 下面先证:

证明：设2：(x,y)≤z(x,y)≤22(x,y),(x,y)∈Dy 为XY型区域，∑=∑1U∑2U∑3，∑1：z=1(x,y) ∑2：z=2(x,y),则 ∑2 瓜addd:儿od ∑3 =Dn{R(x八2(x) -R(x,y,=(x,y))dxdy 乐Rdxdy=-(以，++s)Rdxdy =j川pR(x,y(x,ydd-j小DR(x,y,(x,y》ddy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂  2  3  1  z y x Dxy  R(x, y, ) − R(x, y, ) d x d y: ( , ), 1 1  z = z x y 证明 : 设 ,  = 12 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 21    = D x y ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y  R d x d y  = D x y (  = 2 x y z zR d d d   d x d y  + 1  + 3 ) R d x d y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2  z = z x y 则 R(x, y, )dx dy  − D x y  = D x y ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1 z x y

所以 dxdy 若2不是XY_-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个XY_-型区域，在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立 类似可证 瓜nadd:-月Nd: 品 dxdyd-ff.Qd-dx 三式相加，即得所证Gauss公式： .OR :ay )dxd ydz =ffPdydz+Qdzdx+Rdxdy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 所以 x y z z R d d d     = Rd x d y 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立. 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d     = Pd y d z + Qd z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d   +   +     = Qd z d x x y z x P d d d     = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：