山东 第五节对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第五节 对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系
山东农业大 对坐标的曲面积分的概念与性质 1.有向曲面及曲面元素的投影 双侧曲面 ·曲面分类 曲面分内侧和 单侧曲面 外侧 莫比乌斯带 曲面分左侧和 曲面分上侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 下侧
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.有向曲面及曲面元素的投影 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 (单侧曲面的典型) 右侧
·指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向 表示： 方向余弦 cos a cos B cos y 封闭曲面 侧的规定 >0为前侧 >0为右侧>0为上侧 外侧 <0为后侧<0为左侧<0为下侧 内侧 ·设Σ为有向曲面，其面元△S在xoy面上的投影记为 (AS)xy,(AS)xy的面积为(Ao)y≥0，则规定 (Ao)xy,当c0sy>0时 类似可规定 当cosy<0时 0 当c0sy=0时 (AS)(AS)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 其方向用法向量指向 方向余弦 cos cos cos > 0 为前侧 < 0 为后侧 封闭曲面 > 0 为右侧 < 0 为左侧 > 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 • 设 为有向曲面, ( ) , xy S S (S) xy = 侧的规定 • 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面元 在 xoy 面上的投影记为 的面积为 则规定 ( ) , xy ( ) , − xy 0 , 当cos 0时 当cos 0时 当cos 0时 类似可规定 S yz S zx ( ) , ( )
山东农业大 等数 2.对坐标的曲面积分的概念 引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 v=(P(x,y,2),Q(x,y,2),R(x,y,2) 求单位时间流过有向曲面∑的流量Φ 分析：若∑是面积为S的平面 法向量：n=(cosa,cosB,cosy) 流速为常向量： 则流量 Φ=S.cos0 =Sv.n
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 对坐标的曲面积分的概念 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . S 分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: n v
对一般的有向曲面∑，对稳定流动的不可压缩流体的 速度场V=(P(x,y,z),Q(x,y,2),R(x,y,2) 用“大化小，常代变，近似和，取极限” 2 进行分析可得Φ=lim∑可·n,△S, 2→0 i=l 设i,=(coS,cosB,c0SYi),则 Φ=lim∑[P(5i,i,5i)cos4,+Q(5,n,5i)cosB, 2→01 +R(i,n,i)cosYi ]AS lim 2-→0 [P((S )+()(AS:)s i=1 +R(5,7,5)(△S)xy]
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 对一般的有向曲面 , 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” = n i 1 0 lim → = 0 lim → = = n i 1 P i i i i ( , , )cos R i i i i + ( , , )cos 0 lim → = = n i 1 Q i i i i + ( , , )cos i S 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 ni i v i i i v n S (cos , cos , cos ) i i i i 设 n = , 则